DETERMINATION DES ELEMENTS

conques, a et ^i, des faisceaux projeclifs S et Si, faisons passer deux droites ic et «i, la première u coupant le faisceau S (abc) suivant une ponctuelle u (ABC j , la seconde ii i coupant le faisceau S|(ai3|c:i) suivant une autre ponctuelle tt| (A|BiCi).

Ces ponctuelles sont projectives, comme sections de faisceaux projectifs. De plus, elles sont perspectives, puisque les points correspondants A et Al sont unis sur leur point d'intersection (45). £lles sont donc des sections du faisceau S, de rayons, au centre duquel se coupent les rayons BB| et CCi.

Pour trouver le rayon rf, du faisceau S|, correspondant à un rayon quelconque d de S, projetons, du point S, y le point d'intersection du ou D sur «1 en D^ et menons D| Sj .

Celte droite est le rayon cherché d^. Le point ddi ou P est sur la courbe A du second ordre.

conques, A et A|, des ponctuelles projectives u et «i, prenons les centres S et Si de deux faisceaux de rayons, le premier S (abc) projetant la ponctuelle «(ABC), le second Si(ûiôiCi) projetant la ponctuelle Mi(AiBiCi). Ces faisceaux sont projectifs, comme projections de ponctuelles projectives. De plus, ils sont perspectifs, puisque les rayons correspondants a et ai sont unis sur la droite de jonction de leurs centres (4-5). Ds sont donc des projections de la ponctuelle «, à laquelle appartiennent les points d'intersection bbi et r^i.

Pour trouver le point Dj de i/j, correspondant à un point quelconque D de a, coupons la droite DS ou ^paru, et projetons, du centre Si, au moyen du rayon d^, le point d'intersection du^ sur la droite Ui.

La projection d^ u^ est le point cherche Dj. Le rayon DDi ou/? appartient au faisceau K du second ordre.

Les problèmes suivants se trouvent en même temps résolus :

Trouver sur tout rayon de S ( ou de Si ) le second point d'intersection, différent de S [ou de Si), avec la courbe du second ordre.

Mener par tout point de u [ou de Ui ) le second rayon, différent de u [ou de Ux)y du faisceau du second ordre.

En cherchant, de la manière qui vient d'être indiquée,

les deux rayons correspondants au rayon commun des faisceaux,

les deux points correspondants au point d'intersection des ponctuelles,

on résout les problèmes suivants :

Construire, aux centres de deux Construire, sur deux ponctuelles

faisceaux projectifs de rayons, les projectives, les points de contact du

tangentes à la courbe du second ordre engendrée par ces faisceaux.

faisceau du second ordre engendré par ces ponctuelles.

67. La construction qui conduit aux solutions précédentes fournit encore un résultat important :

Menons, d'une part, à gauche, le rayon S| S2 ou m^y qui est coupé par u au point M et par it| au point M^ . Ce rayon a évidemment pour correspondant le rayon SM dans le faisceau S. Dès lors, si Di vient à coïncider avec Mi, les points D et P coïncident en même temps avec M. Il s'ensuit que M est le second point d'intersection de la courbe k et de la droite u. Pareillement, le second point d'intersection L| de la courbe Â' et de U| est situé sur la droite SS2.

Il convient de rappeler que les droites u et u^, prises arbitrairement, ne sont assujetties à aucune condition autre que celle de se couper sur la courbe k.

Joignons, d'autre part, à droite, le point d'intersection U{ U2 ou Qj au centre S par la droite SQ|. Cette droite contient le point Q de M, qui correspond au point Qi de Ut ; SQi est donc un rayon du faisceau K du second ordre. Pareillement, le rayon Si R, qui projette de Si le point d'intersection de w et de U2, est un rayon de K.

Les points S et 84 ont d'ailleurs été arbitrairement choisis sur un rayon a du faisceau K, Le double problème suivant se trouve ainsi résolu :

Une droite quelconque u coupant en un point donné A une courbe k du second ordre, trouver le second point d^ intersection de la courbe et de la droite u.

Un point quelconque S étant sur un rayon donné a d'un faisceau K du second ordre, tracer le second rayon du faisceau qui passe par le point S.