V. — Théorèmes de Pascal et de Brianchon

68. Déterminons, outre les cinq points S, Si, A, M, Lt, un sixième point P de la courbe k. Le point d'intersection Dj de S, P et de «j et le point d'intersection D de SP et de u sont alors, par construction, situes

Construisons , outre les cinq rayons «, i/j, SSj, SQt, SjR, un sixième rayon DD^ du faisceau K.

Les droites SD et Si Dj, ou d et <f|, se coupent alors, par construction, sur la droite Qj R ou u,- ^^i^ l^s trois

THÉORÈUES DE PASCAL ET DE BRIANCHON. 69

sur une droite passant par S^. Maïs les trois points alignés D, D| et S^ sont les points d'intersection des côtés opposés de l'hexngone SPS|MALi.

droites concourantes d, d^ et u^ sont les diagonales principales ou droites de jonction des sommets opposés de l'hexagone SSjRDDtQi.

Les propositions suivantes se trouvent ainsi démontrées :

Théorème de Pascal ( * ) .

Dans tout hexagone simple, in~ scrit à une courbe du second ordre, les points de concours des trois couples de côtés opposés sont en ligne droite.

Théorème de Beiangbon.

Dans tout hexagone simple, ayant pour côtés six rayons d 'un faisceau du second ordre, les droites qui Joignent les trois couples de sommets opposés concourent en un même point.

(^) Ce théorème célèbre, désigné sous le nom d' hexagramme mystit/ue, esi contenu dans l'Essai sur les coniques, opusc. de sept pages in-8°, que Pascal publia quand il arait à peine seize ans. Le but de Pascal, en faisant cette publication, était de soumettre quelques-uns de ses théorèmes au jugement des géomètres ayant de pousser plus loin, sur les bases du premier Essai, un trarail grandiose qui devait porter le titre de Traité comptée des coniques. Pascal écrivait lui-même : Conicorum opus completum, et conica ytpollonii et alia innumera unica fere propositione amplectens ; quod qui" dent Honduin sex decimum œtatis annum assecuius excogîiavi, et deinde in ordinem congessi {Œnvres de Pascal, t. IV, p. 4'o). Mais cet ouvrage ne nous est point parvenu. Leidsitz a eu, pendant son séjour à Paris, le manuscrit de Pascal entre ses mains; il nous fait connaître, par une lettre adressée à Périer, neveu de Pascal {Œuvres de Pascal, t. V, p. ^5Q-f\6i)y les titres des six parties ou traités dont Tonvrage devait se composer. L'importance du sujet nous a paru justifier la reproduction sommaire que nous faisons ici de ces titres.

Celui de la première partie nous apprend que Pascal se servait des principes de la perspective pour engendrer les coniques par le cercle et déduire ainsi leurs propriétés de celles du cercle. Celte méthode, suivant Leirnitz, était le fondement de tout l'ouvrage. La seconde partie roulait sur l'hexagramme mystique. Dans la troisième partie se trouvaient les applications de l'hexagramme, les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement, et probablement, suivant Topinion de Pon- CBLET {Traité des propriétés projectiles, édit. 1832, p. loi), les théorèmes qui constituent la théorie des pôles. La quatrième partie contenait ce qui a rapport aux segments déterminés sur des sécantes parallèles à deux droites fixes, et les propriétés des foyers. Dans la cinquième étaient résolus les problèmes ayant pour objet de décrire une conique qui satisfasse à cinq conditions : passer par des points et toucher des droites. Enfin, la sixième partie avait été intitulée, par Leibmtz, De loco solido. Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du fameux problème de Pappds, Ad très aut quatuor lineas.

Quelques fragments contenaient divers problèmes, parmi lesquels celui de restitua tione et un autre, appelé magnum, qui était énoncé dans les termes suivants : Dato puncto in sublimi et solido conieo ex eo descripto, solidum ita secare, ut exhibeat sectionem conieam datœ similem,

Leib!Iitz terminait sa lettre précitée par le conseil de livrer le traité sur les coni-

69. Imaginons que, dans Thexagone SPS|MAL| de Pascal [fig- 23), tous les sommets restent fixes, àrexception du sommet A, et que celui-ci se meuve sur la courbe. En ce cas, L|A ou Ui pivote autour de L|, MA ou u autour de M, et les points D,Di se meuvent sur les droites fixes J,^i, de telle sorte que la droite DDj passe toujours par le point Sf. Le théorème de Pascal est vrai pour tout hexagone ainsi constitué. D et Di décrivent par conséquent deux formes perspectives, d et d^j qui sont des sections du faisceau Sj de rayons, et, dans le même temps, Mj et u décrivent respectivement, autour de Li et de M, deux faisceaux projectifs de rayons, qui sont les projections des ponctuelles perspectives rf et rfi- Nous poui^ons donc conce\foir la courbe k comme engendrée par les faisceaux projectifs de rayons Li et M, dont les centres sont deux points pris arbitrairement sur la courbe.

Imaginons que, dans Thexagone SSjRDDjQi de Brianchon {fg' 24), tous les côtés restent fixes, à Fexception de SSj, et que celui-ci se déplace sans jamais cesser d'être un rayon du faisceau K du second ordre. Si décrit alors une ponctuelle S, R ou /^ et S une ponctuelle SQi ou q. Ces deux ponctuelles sont projectives, puisque le point d'intersection des diagonales principales S, D| et SD se meut, dans le même temps, sur la droite fixe QiR et décrit une ponctuelle Mj, à laquelle q et r^ sont perspectives. Nous pouvons donc concei^oir le faisceau R du second ordre comme engendré par les ponctuelles projecti\fes q etr^, dont les lieux sont deux rayons quelconques du faisceau.

quc8 à l'impression et même d'y procéder aTcc sollicitude. On ne sait pourquoi ce conseil n'a pas été suivi, ni comment le manuscrit du célèbre mathématicien a disparu, au grand détriment de la Science géométrique. ( Voir Chasles, j4 perçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 70-71. — Poncelet, Traité des propriétés projectives, etc. Paris, 1822, n® 202. — Weissembork, Die Projection in der Ebene. Berlin, 1862, Vorrede).

Quant au théorème de Brianchon, cet habile mathématicien l'a donné pour la première fois, comme conséquence de celui de Pascal, dans un écrit intitulé : ilfrmoire sur les sur/aces courbes du second degré {Journal de l'École Polytechnique, Xlll* caliier, 1806, p. 297-311). C'est le premier exemple qu'on ait d*un théorème déduit d'un autre par la simple considération des polaires réciproques. Dans son Mémoire sur les lignes du second ordre (Paris, 1817, in-8<*), le même auteur, s'appuyant sur le théorème de Desargces, que noua démontrerons plus loin, a résolu d'une manière très-simple les diverses questions relatives à la construction d'une conique déterminée par cinq conditions de passer par des points et de toucher des droites. (Voir Chasles, Rapport sur les progrès de la Géométrie, Paris, MDCCCLXX, p. 28.)