SYSTÈMES HARMONIQUES DANS LA COURBE ET DANS LE FAISCEAU, ETC. 7I

Nous avons ainsi établi la généralité des théorèmes de Pascal et de Brianchon et nous avons, en même temps, donné une démonstration des propositions sommairement déduites au n** 65.

VI. — Relatiân entre les courbes et les faisceaux du second ordre.

70. De ce qui précède et des propriétés antérieurement établies (64), il résulte que :

Par tout point iVune courbe du second ordre passe une tangente à la courbe.

Sur tout rayon d^un faisceau du second ordre est situé un point de contact du faisceau.

Il suit de là que toute courbe du second ordre est enveloppée par un système de tangentes et que tout faisceau de rayons du second ordre enveloppe un système de points de contact.

Nous vérifierons par la suite (85 et suiv.) que ce système de tangentes et ce système de points de contact sont respectivement un faisceau de rayons et une courbe du second ordre.

Vn. — Systèmes harmoniques dans la courbe et dans le faisceau

de rayons du second ordre.

71. Quatre points d'une courbe du second ordre sont dits harmo" niques, quand les rayons qui les projettent d'un point quelconque, et par conséquent d'un cinquième )X)int quelconque de la courbe, forment un faisceau harmonique.

Quatre rayons d*un faisceau du second ordre sont dits liarmoniques, quand ils sont coupés par une droite quelconque, et par conséquent par un cinquième rayon quelconque du faisceau, en quatre points harmoniques.

Étant donnés, par conséquent, trois points d'une courbe, ou trois rayons d^un faisceau du second ordre, on peut déterminer immédiatement et construire le quatrième harmonique, pourvu que l'on connaisse celui des trois éléments donnés dont ce dernier doit être séparé.

Vin. — Conditions ponr qne deux conrbes on denz fàisceanz de rayons

dn second ordre coïncident.

72. Deux courbes du second ordre coïncident quand elles ont en commun cinq points, ou quatre points et la tangente en l'un d*eux S, ou trois points et les tangentes en deux de ces points f S etS^,

Projetons tous les points des deux courbes, du point commun S, au moyen d'un faisceau de rayons: ce faisceuu est projectif à deux autres, qui projettent les deux courbes, du point commun S^. Mais ces derniers faisceaux sont identiques, puisqu'ils ont, dans tous les cas de l'énoncé, trois rayons unis, savoir : dans le premier cas, trois rayons allant aux trois points, autres que S et Sj, communs aux deux courbes ; dans le second cas (les deux courbes ayant une tangente commune en S), deux rayons allant à deux points communs et le rayon Sj S ; enfin, dans le troisième cas, qui est celui des tangentes communes en S et en Si, un rayon allant au troisième point commun, le rayon S^S et la tangente commune en Sf Tout rayon de S projette donc un point commun aux deux courbes.

Deux faisceaux de rayons du second ordre coïncident quand ils ont en commun cinq rayons^ ou quatre rayons et le point de contact sur Vun d^eux Uf ou trois rayons et les points de contact sur deux d* entre eux^ u et Ui»

Coupons tous les rayons des deux faisceaux, au moyen du rayon commun u, suivant une ponctuelle ; cette ponctuelle est projective à deux autres, suivant lesquelles les deux faisceaux sont coupés par le rayon commun u^. Mais ces dernières ponctuelles sont identiques, puisqu'elles ont, dans tous les cas de l'énoncé, trois points unis, savoir : dans le premier cas, trois points situés sur les trois rayons, autres que u et «i, communs aux deux faisceaux; 'dans le second cas (les deux faisceaux ayant un point de contact commun en 1/ j, deux points situés sur deux rayons communs et le point u u^ ; enfin, dans le troisième cas, qui est celui des points de contact communs sur u et sur //|, un point sur le troisième rayon commun, le point uuy et le point de cont«ict commun sur u^. Par tout point de u passe donc un rayon commun aux deux faisceaux.

De ce qui vient d'être établi, nous pouvons encore conclure que :

Une infinité de courbes du second ordre peuvent avoir en commun quatre

Une infinité de rayons du second ordre peuvent apoir en commun quatre

CONDITIONS POUR QUE DEUX COmBES OU DEUX FAISCEAUX DE RAYONS, ETC. 78

points donnêSy ou trois points donnés et la tangente en un lie ces points, ou deux points donnés et les tangentcs en ces points; mais deux quelconques de ces courbes coïncideraient y si elles avaient encore un autre point commun ou une autiv tangente commune.

rayons donnés, ou trois rayons donnés et le point de contact sur un de CCS rayons^ ou deux rayons et leurs points de contact; mais deux quelconques de ces faisceaux coïncideraient, s* il s avaient encore un autre rayon commun ou un autre point de contact commun.