GÉNÉRATION DU CERCLE. PROPRIÉTÉS QUI EN DÉRIVENT. 7 S

projette autant de points que l'on veut, A, B, G, . . . , du même cercle, au moyen des rayons projetants a, ^, c, ... et «1, b^ cj, . . . , ces rayons forment entre eux des angles égaux, reposant deux à deux sur le même arc,

c'est-à-dire qu on a au :=z a^b^^ ac z=z «jt'i, bc = />iCi, .... Les faisceaux qui en résultent sont donc égaux (58) et par conséquent projectifs (59).

Le rayon qui projette de S le même point S, ou plus exactement le point du cercle infiniment voisin, est la tangente en S ; d*où il suit que, dans les (^lisceiiux projectifs S[abc . . ,]^Si[a^b^c^, , .)^ la tangente en S est le rayon du premier faisceau qui correspond au rayon Si S du second.

75. On peut étudier pareillement, au moyen de deux ponctuelles proj actives, la génération du faisceau de rayons du second ordre enveloppant un cercle, c'est-à-dire du système des tangentes au cercle.

Prenons deux tangentes au cercle, u et u^ [fig* 26), comme lieux de deux ponctuelles, et attribuons à leur point d'intersection la double notation PQj. Soient Pj **'' et <J les points de ctmtact des deux tangentes; A et B leurs points d'intersection avec une troisième tangente quelconque «j.

On reconnaît facilement la propriété projective des ponctuelles parcourues par A et B en cherchant les points D, E, qui correspondent aux points à l'infini (54-), c'est-àdire en déterminant les intersections de u et de Ml avec les tangentes menées parallèlement aux lieux de ces ponctuelles. D'après une propriété connue du cercle, qu'on retrouvera d'ailleurs plus loin (132), le parallélogramme ainsi formé I)ar quatre tangentes est un losange dont les diagonales se coupent à angle

droit au centre du cercle. Les angles PDG, QiEC sont donc égaux, et il en

est de même des angles supplémentaires ADC, CEB. Les angles en A, B et P ayant d'ailleurs respectivement pour bissectrices les rayons CA, CB, CP, et la somme des angles du triangle étant égale à 180 degrés, la somme des

moitiés de ces angles est égale à 90 degrés et l'angle PDG est égal à la somme des demi-angles en A et B. Conséquemment

ADC = ACB = CRB, et les trois triangles ADG, AGB, GEB sont équiangles et semblables. La

proportionnalité des côtés de ADC et de CCB fournit donc la relation

AD CE DC"" ËB ou

DA.EB r=CD.CE.

De la propriété du rectangle constant DA.EB on déduit (54) que les ponctuelles décrites par A et B sont projectivcs. On voit d'ailleurs immédiatement que les triangles DCQ, £QiC sont semblables, ce qui fournit la relation

DC EQt DQ~^ EC ou

DQ.EQ, = CD. CE.

Le point de contact Q a donc pour correspondant le point d'intersection Qi des deux lieux, et le point P a de même pour correspondant le point Pf.

Considérons maintenant la question inverse, qui consiste à déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux ponctuelles projectivcs engendrent le faisceau du second ordre enveloppant un cercle, c'està-dire le système des tangentes à un cercle.

On doit avoir tout d'abord dans le cercle

PQ==QiPi;

d'où il suit que les deux points P et Qj, extrémités de deux segments correspondants égaux, doivent se trouver réunis à l'intersection des deux ponctuelles. On a vu d'ailleurs (54) que deux ponctuelles projectives quelconques contiennent deux systèmes de segments composés chacun d'une infinité de couples de segments correspondants égaux, et que les couples de l'un des systèmes comprennent les points D et E, tandis que ces points restent en dehors des couples de l'autre système. On choisira, pour la génération du cercle , l'un quelconque des couples de segments de la seconde espèce.

L'angle formé par les lieux des ponctuelles génératrices est d'ailleurs déterminé. En effet, si nous le désignons par ^, nous aurons

PD sin ^ 1= DC,

Qj E sin 51 = EC,