GÉNÉRATION DES SURFACES DOUBLEMENT RECTILIGNES

1® Une ponctuelle et un faisceau de plans qui lui est projectif n'engendrent, en général, aucune forme nouvelle, puisqu'un point de la ponctuelle ne détermine pas immédiatement un troisième élément avec le plan correspondant du faisceau.

2® Deux faisceaux projectifs de rayons, situés d'une manière quelconque dans l'espace, n'engendrent (au moins immédiatement) aucune forme nouvelle, puisque deux rayons correspondants quelconques ne sont généralement pas situés dans le même plan et n'ont dès lors aucun point commun.

3** Un faisceau u de plans et un faisceau S de rayons, projectif au premier, engendrent la ponctuelle ou la courbe du second ordre qui seraient engendrées par le faisceau S et par le second faisceau de rayons suivant lequel u est coupé par le plan de S ; le point d'intersection d'un plan quelconque de u et du rayon correspondant du premier faisceau S, est en effet situé sur le rayon correspondant du second faisceau.

4® Un faisceau S de rayons et une ponctuelle u, projective à ce faisceau, engendrent le faisceau de plans du premier ou du second ordre qui serait engendré par S et par le second faisceau de rayons au moyen duquel u est projetée du centre S ; le plan qui joint un point quelconque de u au rayon correspondant du premier faisceau passe aussi, en effet, par le rayon correspondant du second faisceau.

Mais on obtient de nouvelles formes si l'on considère, d'une manière quelconque dans l'espace, deux ponctuelles projectives ou deux faisceaux projectifs de plans (5** et 6**).

n. — Génération des snrfaces doublement rectilignes.

143. Soient u et u^ deux ponctuelles projectives non situées dans un même plan. Le système continu des droites qui joignent les couples de points correspondants constitue une surface courbe. Cette surface doit à l'une de ses propriétés caractéristiques le nom de surface doublement rectiligne.

144. Deux droites quelconques du système continu de génératrices d'une surface doublement rectiligne ne sont jamais dans un même plan.

En effet y le plan qui contiendrait deux de ces droites contiendrait deux points de chacune des ponctuelles u et u^ et par suite ces ponctuelles elles-mêmes, ce qui est contre l'hypothèse.

La surface doublement rectiligne engendrée par un sjrstème V de droites peut aussi l'être par un second système U, et toute droite de l'un des systèmes est coupée par chaque droite de l'autre.

Soient, en effet, Vj y^ , t'a trois rayons quelconques du système V, qui joignent chacun deux points correspondants de u et deif|,et soit U2 une droite qui rencontre ces trois rayons. Projetons les ponctuelles u et u^ de Taxe U2. Nous obtenons ainsi deux faisceaux projectifs de plans qui ont trois plans unis, 1/3 ç^, 1/2 ^i, 2/2(^27 et par conséquent tous leurs plans unis (43). Deux points correspondants quelconques de u et de t/| sont dès lors situés dans un même plan du faisceau u^ ; en d'autres termes, la droite u^ est coupée par tout rayon du système V. U en est de même pour toute autre droite mj qui rencontre les trois rayons ç», Vi, ^2* Le système U de droites est donc composé de toutes les droites qui coupent trois rayons quelconques du système V. De même, le système V est formé de toutes les droites qui coupent trois rayons i/, iX|, 1/2 du système U.

Toute droite d'un système est dite directrice de l'autre; chacun des deux systèmes est directeur de l'autre. Donc :

Une sur/ace doublement rectiligne peut être engendrée de deux manières par une droite qui se meut en s' appuyant sur trois droites Jîxes, telles que deux quelconques d* entre elles ne soient jamais dans un même plan.

Les trois droites fixes sont des directrices du système décrit par la droite mobile. Celle-ci rencontre une fois chacun des points de toute directrice et se trouve une fois dans chacun des plans qu'on peut faire passer par toute directrice.

Il résulte immédiatement de la démonstration précédente que :

Tout point situé sur un rayon de l'un des systèmes est aussi sur un rayon de l'autre.

Tout plan passant par un rayon de l'un des systèmes contient aussi un rayon de l'autre.

145. Deux faisceaux projectifs de plans, dont les axes u et Ui