XII. — Relations entre formes élémentaires

169. Une courbe du second ordre et deux droites a, b, qui ont chacune un point commun avec la courbe y mais qui ne sont y ni dans le plan de la courbe, ni dans un même plan, déterminent un système de droites perspectif à la courbe et dont les deux droites données sont directrices.

Les faisceaux de plans a et b, perspectifs à la courbe, engendrent le système de droites.

Un faisceau de plans du second ordre et deux droites a^ b^ qui sont projetées du centre du faisceau par deux de ses plans, mais qui ne se rencontrent pas, déterminent un système de droites perspectif au faisceau et dont les deux droites données sont directrices.

Les deux ponctuelles a et ^, perspectives au faisceau de plans, engendrent le système de droites.

Le système de directrices, qui contient les droites a et b, est de même perspectif, respectivement, à la courbe et au faisceau de plans du second ordre.

170. «Si une ponctuelle et une courbe du second ordre, situées dans des plans différents, sont projectivcs et ont un point uni A, elles engendrent un système de droites qui leur est perspectif.

Si un faisceau de plans du premier ordre et un autre du second ordre, dont le centre ne se trouve pas sur l'axe du précédent, sont projectifs et ont un plan uni y ils engendrent un système de droites qui leur est perspectif

l44 GÉOMÉTEIB DE POSITION. — CHAPITEB Xfl.

Aux trois points A, B, C de la ponctuelle (à gauche) correspondent les trois points A| , B| , C| de la courbe ; et le système de droites, perspectif à la courbe, auquel appartiennent les droites BB|, CC|, est aussi perspectif à la ponctuelle, car les trois points A, B, C de celle-ci sont sur les rayons qui leur correspondent dans le système de droites (122). On démontre de même la proposition à droite.

171 . D^un point quelconque, pris hors du plan de la courbe, on projette cette courbe au moyen d'une surface conique du second ordre et le système de droites au moyen d'un faisceau de plans da premier ou du second ordre. Le faisceau de plans du second ordre est coupé, par un plan quelconque, suivant un faisceau de rayons du second ordre, et le système de droites suivant une ponctuelle ou suivant une courbe du second ordre ; donc :

Une ponctuelle et une surface conique du second ordre étant projcctives, si un point de la ponctuelle est situé sur le rayon correspondant de la surface^ les deux formes engen^ drent un faisceau de plans du premier ou du second ordre, qui leur est perspectif

Un faisceau de plans du premier ordre et un faisce.iu de rayons du second étant perspectifs, si un plan du premier faisceau passe par le rayon correspondant du second, les deux faisceaux engendrent une forme de points du premier ou du second ordre, qui leur est perspective .

Cette proposition conduit immédiatement à la suivante, si Ton remarque que toute courbe du second ordre peut être considérée comme section d'une surface conique du second ordre (164) :

Si une ponctuelle et une courbe ilu second ordre, situées dans un plan y sont projectives et ont un point uni, elles engendrent un faisceau de rayons, du premier ou du second ordre, qui leur est perspectif

Si deux faisceaux de rayons, l'un du premier ordre, l'autre du second ordre, situés dans un plan, sont pro- Jectifs et ont un rayon uni, ils engendrent une forme de points, du premier ou du second ordre, qui leur est perspective.

172. Deux sj'stèmes de droites, a, b^c et a^j b\, c^, pro jectifs entre eiix^ et constituant chacun un système de directrices de f autre, engendrent en même temps une courbe du second ordre

FORMES PROJECTIVES SITUÉES l'uXE SUR l' AUTRE. 1^5

(jui leur est perspective et un faisceau de plaiu du second ordre qui leur est aussi perspectif.

Les deux systèmes de droites ne peuvent être rapportés entro eux que d'une seule manière , les rayons a, t, c de Tun correspondant respectivement aux rayons a^j b^y C| de Tautre. Mais celte condition est remplie quand on fait correspondre deux à deux les rayons qui coupent en un même point le plan des trois points aa^, bb^^ CC|, ou qui sont projetés par un même plan du point d'intersection des trois plans aa^y bb^, CC|.