XIII. — Formes projectives situées Tune sur l'autre
173. Quand deux courbes du second ordre, projectives ( * ) , sont placées l'une sur l'autre, ou bien elles engendrent un faisceau de rayons du second ordre qui leur est perspectif, ou bien leurs couples de points correspondants sont alignes sur un même point.
Quand deux faisceaux de rayons du second ordre y projectifs, sont placés l'un sur l'autre, ou bien ils engendrent une courbe du second ordre qui leur est perspective, ou bien leurs couples de rayons correspondants se coupent sur une même droite.
Tout système de droites, perspectif à Tune des courbes, engendre avec son système directeur, rapporté perspectivement à l'autre courbe, un faisceau de plans du second ordre, qui est perspectif aux quatre formes (172) ; et l'on se trouve dans le premier ou dans le second cas de la proposition, selon que le centre du faisceau est placé en dehors du plan des courbes ou sur ce plan. Si donc, parmi les droites qui joignent deux à deux les points correspondants des courbes, trois quelconques passent par un même point U (^g. 44 cM5), toutes les autres se coupent en ce point.
(*) La considération de deux séries projectives de points, sur une même courbe du second ordre, a été nettement énoncée par Bellavitis dans son Saggio di Geometria derivata {^Nuovi saggi dell' I. R. Accademia di Scienze, Lettere ed Arti in Padova, vol. IV. PadoTa, i838, p. 270. Nota). Ce géomètre les a d*abord distinguées en les appelant coriche. Il leur a ensuite donné le nom de ditome punteggiate, réscrrani celui àetHntomeneradiateaux formes corrélatives dans les mêmes conditions ( IV* Partie de la Xll* Rivista dei giornali, dans les Atti del R, Istituto VenelOt etc., 1873-7'!, p. 358). •
GBOHETKIE DE PORTION. — CUAPITIE XII.
Xnr. — Foimei dani du pluu diffâranU.
174. Dciix courbes projectiles du second ordir, ABCD«-f ABC, D,, non filaéesdans le même plan, mais ayant deiLr points unis k et B, engendrent une forme de ratons du tecondordre [système de droites on surface conique) qui leur est perspective.
Deux faisceaux de plans projn tifs du second ordre, non courra triques, mais ayant deitx plans mh engendrent une forme de rayons à second ordre [système de droîtei a faisceau de rayons) qui leur est per
En effet la forme de rayons du second ordre à laquelle apparticnnenl les rayons CC( eiDDi, perspective à la courbe ABCD. l'est aussi à la courbe ABC|D, (162).
Les doux courbes engendrent une surface conique quand leurs
tangentes en C et en C, coupent la droite AB au mdnie point. \'a\ eUet, si les courbes engendraient dans ce cas un système dr droites, le plan des deux tangentes contiendrait, outre le rayon CC, du système de droites, une directrice du même système (144); il aurait donc, sur cette directrice, un point, différent de C et de C,, commun avec cbacune des deux courbes, ou avec l'une d'elles, rc qui est impossible.
175. Si deu.r courbes du second j Si deux suifaces coniques du settrdre, situccs dans deux plans dijfé- cond ordi-e, non concentiiques, sont repris, p'isseni pur deux marnes I inscfftes cnlte deux mêmes plans,
CAS DE PERSPECTIVES. l47
points^ AeiB, de la droite d'intersection de ces plans, elles sont simula tanément projetées l'une sur l'autre par deux surf aces coniques du second ordre.
passant par la droite qui joint leurs centres, elles se coupent mutuellement suivant deux courbes du second ordre.
En effet, les deux courbes peuvent être rapportées projectivement entre elles de deux manières : soit que les extrémités A et B de leur corde commune constituent des éléments unis, soit que les tangentes en deux autres points correspondants, CelCi, se coupent en un point de AB.
