ÉLÉVENTS CONJUGUÉS DANS UNE INVOLUTION

droite, concourent au pôle \J de u et forment un faisceau de rayons (108) en involution ai^ec la ponctuelle.

Si, dans ces conditions, deux points conjugués quelconques de la ponctuelle u et deux rayons conjugués du faisceau U sont accouplés involutoirement, tous les points de u et tous les rayons de U seront accouplés de la même manière. En particulier :

Tous les couples de diamètres conjugués d'une courbe du second ordre forment un faisceau de rajons en involution.

190. Nous pouvons maintenant démontrer de la manière suivante le théorème du n® 186 :

Considérons la forme involutoire M. N. AA| {fg- 47 )> q^î est une ponctuelle résultant de deux formes projectives en involution. Aux points M, A, N, Al de Tune de ces formes, correspondent les points M, A| N, A de l'autre, car M et N sont des points correspondants communs aux deux formes, et A, A| se correspondent doublement. MANAi etMAi N A sont donc des formes projectives.

Projetons maintenant MANAi, d'un point quelconque S, sur une droite

passant par M. La projection MRKT est projective à MANAi et, par suite, à MA<NA. Donc les formes MRKT, MA, NA sont projectives. Mais ces formes ont le point M uni ; conséquemment elles sont perspectives, ce qui revient à dire que les droites RA, , KN, TA, concourent en un même point Q. On obtient ainsi le quadrangle QRST, dans lequel deux couples de côtés opposés se coupent respectivement en A et A,, tandis que les diagonales passent par M et N. Donc M, A, N, A, sont effectivement quatre points harmoniques.