VI. — filéments conjugués dans une involution

191. Trois couples d'éléments conjugués, AiV,, BB|, CC, d'une forme élémentaire involutoire constituent ce qu'on appelle une ini^olution.

GKOMETBIB DE POSITION. — CHAMTEB Xlli.

Les six éléments d'une involution ne sont pas indépendants les uns des autres, ainsi qu'il résulte immédiatement d'une relation établie plus haut (183).

Un élément double, M ou N, peut occuper dans rinvolationU position d'un couple d'éléments. Par exemple, M.AA|.BB| est une involution lorsque les formes MAA| B et MA| AB| sont projectives. Pareillement, M.N.AA« est une involution lorsque MANAi est un système harmonique, projectif par conséquent an système MA| NA.

192. Nous pouvons établir maintenant les propositions suivantes :

Les trois couples de côtés opposés d'un quadrangle plan complet sont coupés par une droite quelconque de leur plan, ne passant par aucun des quatre sommets, en trois couples de points conjugués d 'une ponctuelle en involution.

Les trois couples de sommets opposés d 'un quadrilatère plam complet sont projetés^ d'un point quelconque de leur plan, n'appartenante auam des quatre côtés, par trois couples de rayons conjugués d'un faisceau en involution.

Soit (à gauche) QRST {fig- 4^) un quadrangle complet dont

les couples de côtés opposés, RT ^'^' ^ * et QS, ST et QR, QT et RS sont

coupés, par la droite u, respectivement aux points A et A| , B et Bi , C et Ci ; et soit O le point d'intersection de QS et RT. La \ forme ATOR est la projection

Cl .'^^

193. On donne deux couples de points. A, A| et B, B,, d'une ponctuelle inçolutoire, et l'on demande de déterminer le point C<, conjugué à un cinquième point quelconque C.

Nous pouvons éviter de recourir à la forme du second ordre, en

ÉLÉMENTS GOXJUGUÉS DANS UNE INVOLUTION. iSq

construisant un quadrangle complet, dont deux côtés opposés passent par A et A| , deux autres par B et B| et un cinquième côté par C ; le sixième côté déterminera le point cherché C« .

194. Une droite quelconque, ne passant par aucun des sommets d'un quadrangle simple, inscrit à une courbe du second ordre , rencontre la courbe et les deux couples de côtés opposés du quadrangle en trois couples de points conjugués en ins^olution ( * ).

Soit, en effet, u {Jig- 49) ^^^ droite qui Fig. 49.

rencontre les côtés QT, RS, QR, TS du .« quadrangle QRST, respectivement en A, V^ Ai, B, B, et la courbe en P, P,. Les deux v ,

faisceaux de rayons qui projettent, de Q \ Q '

et de S, les points P, R, P| , T de la courbe / -^ ^ -

sont projectifs. Les ponctuelles PB P| A et ^ Sy \ \

PA|P|B,, suivant lesquelles la droite u '' V\

coupe ces faisceaux, sont donc aussi pro- \ '\ \ /

jectives. Les formes PAj P| B| et Pj B| PA| \ \ Va,

étant d'ailleurs projectives (28, 41), les / \\'

formes PBPj A et P| B| PA| le sont aussi. ; „

Donc PP^ .AA| .BB| est une involution. \

Cette involution est complètement déterminée par les couples de points AA, , BB| . Toute autre courbe

(*) Cet énoncé est celui du célèbre théorème de Desargces, dont nous aTons déjà parlé dans une précédente note. Desabgubs ne s'est pas borné à considérer ce cas, qu'il a désigné sous le nom à* involution de six points. Il y a étudié aussi le cas où deux points accouplés viennent à coïncider (involution de cinq points) et celui où, deux autres points accouplés coïncidant aussi, on n'a plus à considérer que quatre points; U relation d'involntion se réduit alors à un rapport harmonique. (Broutlhn proiect, etc., dans les Œuvres de Desargues réunies et analysées par M. Poudra. Paris, i86}, p. 171-176.)

La troisième des cinq propositions que Fermât a laissées comme exemple ou spécimen des porismcs (F'aria opéra mathematica. Tolosœ, 1679) n*est autre que le fameux théorème de Tinvolution de six points. On ne peut douter que l'illustre géomètre toulousain ne soit parvenu à cette proposition sans avoir connaissance de l'énoncé do Desargces; mais on ne doit pas moins reconnaître à celui que Poticelet appelait très-justement le Monge de son sihcle le double mérite d'avoir découvert son théorème vingt-cinq années avant Fermât et d'en avoir mis toutes les ressources à pro6t dans sa théorie des coniques.

On sait d'ailleurs quel parti Pascal a su tirer du théorème de Desargues. (Voir CnASLES, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 67, 77-90, 33i-34i.)

l6a GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAFITmBS IX ET UU.

On a donc finalement

(i) ABi.BCt.CAi=ACi.BAi.CBi.

La relation de projectivitë indiquée plus haut ne cesse pas d'exister quand on permute entre eux deux i)oints conjugues, C et Ci par exemple, dans les deux formes projcctives. L*ëquation (i) devient, après cette permutation,

(I) ABt.BC.CiAi = AC.BA|.CtBi.

Des permutations analogues permettent d*exprimer encore la relation d*involution entre les six points considérés par Tune des équations suivantes :

AB.B|C|.CA| = ACi*B| A] .CB,

AB.BfC .CiAi^AC .B|A|«C|B.

Pour former l'une quelconque de ces quatre équations, la dernière par exemple, on prendra d*abord un segment AB ; puis le segment Bj C, compris entre le conjugué Bj de B et Tun des deux points du troisième couple; puis le segment CjAi, compris entre le conjugué Ci du point C et le conjugué A| du point A du premier couple. Le produit de ces trois segments, AB.BiC.CiAi, forme le premier membre de l'équation. Pour former le second membre, il suffit de renverser chacun des trois segments du premier, de permuter les indices et de faire le produit des nouveaux segments ainsi obtenus.

On peut établir des relations analogues entre les sinus des angles formés par les six éléments d*une involution dans un faisceau de rayons du premier ordre. Nous nous bornerons à indiquer une de ces relations, à titre d'exemple :

. '^ . ^^ . ^'^ . ^^ . ^""^ . ^ shiaù. sin^iC. sinci^i = smac. sin6|âi. sinciO,

IL — Centre de la ponctuelle involutoire.

197. Les équations (i) et (I) deviennent beaucoup plus simples si l'un des six points, C, par exemple, passe à Tinfini. Son conjugué C coïncide alors avec le point 0, qui est le conjugué du point à Tinfini, et qu'on nomme vc/ttre (le la ponctuelle en involution. Dans ce cas, les rapports