III. — Points donbles

198. Si la ponctuelle a deux points doubles, M et N [fig. 5i), en chacun desquels deux points conjugues coïncident, on déduit de (2]

(3) OA.OAj = Ôm' = Ôn'.

Le centre O d'une ponctuelle en involutlon est donc le point milieu du segment MN compris entre les points doubles.

Cette équation exprime aussi que M et N sont harmoniquement séparés par A et Al (38), ce que, du reste, nous savions déjà d'autre part (186, 190).

Selon que le produit OA . OAi est positif ou négatif, il existe des points doubles ou il n*en existe pas. Donc :

Deux points conjugués quelconques A et Ai d'une ponctuelle en involu^ tien sont situés d'un même côté, par rapport au centre 0, si la ponctuelle a des points doubles, et de part et d'autre du centre si la ponctuelle n'a pas de points doubles.

199. Décrivons [fig- 5o, 5i) sur les segments AAi, BBj, CCi, limités par deux points conjugués d*une ponctuelle en involution, des cercles qui aient ces segments pour diamètres. Désignons par r le rayon de Tun quel-

l64 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CBAPITEES IX ET XUI.

conque de ces cercles, par exemple de celui qui est décrit sur AA|, et pari/ la distance de son centre K au point 0* Nous aurons

OA = OK— AK=:rf— r,

OA, = OR -f- KAt = ^-+- r,

et, |>ar conséquent,

OA.OAi = £/*— r».

Si kl iH^nclueUe en involution a deux points doubles, M et N, le point est en deliors du cercle K ( 198) etd* — r* représente le carré de la tan- ^nte i qu*on peut mener du point à ce cercle; car f et r sont les côtés de Pan^le dn>it d*un triangle rectangle dont d est Tb jpoténuse.

D'après réquation (a), la longueur de la tangente t est constante poar ttHis les cercles construits sur les s^ments AAj, BBi, .... D'après réquation ^ 3 ), cette longueur est égale à la moitié du sèment MN, compris entre les points doubles. Donc :

Lts circonférences (lécrites sur les segments AAi, BBi, ..., limités par les couples de points conjugués d'une ponctuelle en imx>lutfon, sont i-oupt'es orthogonalemcnt par la circonférence décrite du centre sur le segment tles points doubles.

On voit aussi que :

Les circonférences décrites sur AAj, BBj, . . . coupent orthogonalement toute circonférence passant par les points doubles.

Quand la ponctuelle en involution n'a pas de points doubles, son centre O est à rintérieur du cercle décrit sur AAt et d* — r* est négatif.

Menons dans le cercle, par le point 0, la corde PQ perpendiculaire à AA|. Chacune des moitiés, OP, OQ, de cette corde est Tun des côtés de l\ui^U^ dixût d'un triangle rectangle ayant pour second côté </ et pourhyiK)tvauHC r. On a donc

d*-hÔp'=r^, ou

d^'-r^=^Ôp'= — Ôq'.

iV^^pi^^ l\k|uatii>u (ti ), la longueur de la demi-corde doit rester la même |^»wv U^u.i IvJ* ^tMvIes décrits sur les segments AAj, BBj, CC|, .... Ils"»^ vW U \\\Ao iouA iVA cercles passent par les points P et Q, et que les aiij^les

\k^V^» l^^^ix Cn^u . . • S4>Dt droits.

FOYERS. l65

Nous pouvons donc énoncer successivement les propositions suivantes :

Quand une ponctuelle en involution n'a pas de points doubles, toutes les circonférences décrites sur les segments AAj, BBj, ..., limités par les couples de points conjugues, passent par les deux points où se coupent deux quelconques d'entre elles.

Quand une ponctuelle en inpolution n'a pas de points doubles, il y a, dans tout plan qui la contient, deux points, P et Q, de chacun desquels le système est projeté par un faisceau en inpolution, dont les couples de rayons conjugués sont rectangulaires.

Un faisceau de rayons en inpolution est rectangulaire lorsque deux couples quelconques de rayons conjugués se coupent à angle droit.

Si l'on inscrit dans une courbe du second ordre une suite de triangles rec' tangles, disposés de telle sorte que les sommets des angles droits soient tous en un point S, les hypoténuses se coupent toutes en un même point.

Les points de la courbe sont en effet involutoirement accouplés par le faisceau rectangulaire S (180).

2(K). On nomme foyer d'une courbe du second ordre un point tel que les couples de rayons qui en sont issus, et qui sont conjugués (111) par rapi>ort à la courbe, se coupent toujours à angle droit. En d'autres termes, nn foyer est un point tel que les côtés de tout angle droit ayant son sommet en ce point sont des droites conjuguées par rapport à la courbe.

Le faisceau en inpolution des rayons conjugués qui se croisent en un foyer ne peut pas apoir de rayons doubles.

Tout rayon est, en effet, perpendiculaire à son conjugué. On ne peut donc pas mener du foyer des tangentes à la courbe, ce qui revient à dire f^ un foyer est toujours situé dans la région interne de la courbe (185).

Tout foyer F est situé sur un axe de la courbe. En d'autres termes, le diamètre passant par un foyer est un axe de la courbe; car il est perpendiculaire à la corde conjuguée qui passe par le même foyer (131).

La droite qui joint deux foyers F, Fi d'une courbe du second ordre est un axe de la courbe.

Cette droite est, en effet, conjuguée aux deux perpendiculaires qu'on peut élever sur elle en F et en Fj, et son pôle coïncide avec le point à Tin- Gni des deux perpendiculaires.

l66 GÉOUÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES IX ET XIII.

Dans le cercle, le centre peut être considère comme un foyer. Deux rayons conjugués par rapport à un cercle ne sont perpendiculaires entre eux que si Fun d*eux ou chacun d*eux est un diamètre. Par où l'on voit aisément que le cercle na d'autre foyer que son centre.

Le cercle doit être considéré comme exclu des recherches suivantes.

201. Toute droite/? [fg* 5^), située dans le plan d'une courbe du second ordre, est conjuguée à la perpendiculaire /?j, abaissée sur p de son pôle. Soit a un axe de la courbe du second ordre, coupé par p et px en P

et Pj, sous des angles aigus. Tout *^' ^' rayon du faisceau P est alors per-

pendiculaire à son conjugué du faisceau P|. Rapportons, en effet, les faisceaux P et Pt projectivement entre eux, en assignant à tout rayon de Tun, comme correspondant, le rayon conjugué de Tautre.

Représentons par A le pôle à Tinfini de l'axe a. Les trois rayons a, PA, /> de P sont respectivement perpendiculaires à leurs correspondants conjugués Pi A, a et pi de Pj. Par suite, les faisceaux P et Pi engendrent un cercle qui a PPi pour diamètre, et deux rayons conjugués quelconques de ces faisceaux sont perpendiculaires entre eux. Donc :

jé tout point P, pris sur l'un des axes d'une courbe du second ordre, correspond, sur le même ajce, un autre point Pi, tel que deux rayons conjugués quelconques^ passant respectivement par P et par Pj, sont perpendiculaitvs entre eux.

Lorsque deux points, dans la condition de P et de Pi, sont conjugués l'un à l'autre, les points de Vaxe a sont accouplés involutoirement.

Rapportons, en effet, projectivement entre eux les deux faisceaux de rayons ])arallèles qui ont respectivement les directions des rayons p et/>„ en assignant comme correspondant, à chaque rayon de Tun, le rayon qui lui est conjugué dans l'autre. La droite a est coupée par les deux faisceaux suivant deux ponctuelles projectives, et ces ponctuelles sont en involution, car deux quelconques de leurs points, tels que Pet Pi, se correspondent doublement.

Si la ponctuelle en involution a présente deux points doubles, chacun de ces points est un foyer de la courbe du second ordre.

Si la ponctuelle n'a pas de points doubles y chacun des deux points d'où eUe est projetée par un faisceau rectangulaire de rayons est un foyer de la courbe.

£d effet, deux rayons rectangulaires quelconques, issus d*un tel point, sont conjugues.

Dans le dernier cas, les foyers sont situés sur l'axe de la courbe du second ordre différent de a. Ils constituent les points doubles d'une ponctuelle involutoire formée, sur ce second axe, de la même manière que la ponctuelle située sur a dans le premier cas.