Aucune courbe du second ordre n'a plus de deux foyers
En effet, la droite qui joint deux foyers est un axe de la courbe (200), e le cercle, qui seul a plus de deux axes (i35), n'a qu'un seul foyer (200).
L*axe a d'une ellipse ou d'une hyperbole, sur lequel sont les deux foyers, est appelé axe principal de la courbe.
L'hyperbole est coupée par son axe principal»
En effet, les foyers situés dans la région interne (200) ne peuvent pas se trouver sur Taxe qui ne rencontre pas la courbe.
Les foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole sont symétriquement placés par rapport au centre de la courbe.
En effet (35, 36), dans la ponctuelle involutoire a, dont les points doubles sont les foyers, le centre est conjugué au point à l'infini, le second axe de la courbe étant conjugué à toutes les droites qui lui sont perpendiculaires.
En général, les foyers sont harmoniquement séparés par deux droites conjuguées rectangulaires.
Si la courbe du second ordre est une parabole ayant pour axe la ponctuelle a^ les deux faisceaux projectifs de rayons parallèles considérés plus haut (201) ont pour élément correspondant commun la droite à Tinfini, car cette droite est conjuguée à elle-même comme tmgente à la parabole. Dès lors, un point double de la ponctuelle involutoire a coïncide avec le point à l'infini, qui doit être considéré comme foyer de la parabole. Donc :
La parabole a un seul foyer propre, lequel (comme second point double de a) divise en deux parties égales le segment compris entre deux points conjugués quelconques y P ^/ Pj .
203. Soient F et Fi [fig- 5^) les deux foyers d'une courbe du second ordre, dont l'un est à l'infini sur l'axe, quand la courbe est une parabole.
l68 GBOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITEBS IX ET XIII.
Deux droites conjuguées rectangulaires, SP et SP|, sont harmoniquemeot séparées par les points F, F| et par conséquent aussi par les rayons SF, SFi. Ces droites conjuguées sont donc les bissectrices des angles formés par SFetSF, (36).
Si S est un point de la courbe, Tune des droites SP, SP| est tangente ik courbe.
Si S est situé en dehors de la courbe, SP et SP| sont aussi les bissectrices des angles formés par les deux tangentes à la courbe issues du point S; car ces tangentes sont aussi séparées hannoniquement par SP et SPf (ill)-
Nous obtenons ainsi les propositions suivantes :
Toute tangente à une courbe du second ordre forme des angles égaai aoec tes deux droites qui joignent son point de contact atur foyers de la courbe.
L'angle formé par deux tangentes à mne courbe du second ordre a la même bissectrice que V angle des droites menées du point d'intersection des tangentes aux fojers de la courbe.
Ces proi>ositions s*appliquent aussi à la parabole. Dans œ cas , la droite qui joint un point du plan au foyer à l'infini n*est autre que la parallèle menée à Taxe par le point considéré.
204. D'autres propriétés remarquables résultent de œ que deux raroos conjugués quelconques, issus d'un foyer, sont perpendiculaires entre eux.
Nous appelons directrice d'une courbe du second ordre la polaire/ d'un foyer F de la courbe.
Le segment de toute tangente, compris entre le point de contact et tau directrice y est projeté du forer correspondant par un angle droit,
Le$ côtés de cet angle sont en effet deux rayons conjngnés da foyer F, car le |HHUt où la tangente est coupée par la directrice y a pour polaire la droite qui joint le foyer F au point de contact (108).
Si^iont TA et TB {J^g* 53' deux tangentes quelconques à une courbe du scctHHi or\ire; .VB est la polaire du point T. Le point d'intersection P de AB et iW/éunt dès lors le pèle de la droite TF ; I06\ ks rayons TF. PFsont ct>i\ju^ués et« par suite, rectangulaires. D*autre part, les rayons FA et FB MUit H^irtihMiiquenient séparés par FT et FP, puisque A et B sont bamiooiqueiiKiil 9«^pArés par P et FT. IKm? ks angles adjacents formés par FA et FB ^nit Fr <^t rr punir bissectrices ; en d'autres termes :
Ltt dê\^tt ^m Joint mn fi^yer ptopnt d'une coarée dn second onbeau
point d'intersection de deujc tangentes est bissectrice de l'angle formé par la droites qui joignent te même foyer aux points de contact.
â05. Si l'on mène par A et B deux parallèles h FT, qui coupent la directrice / respectivement en A, et B,, les pointa A, et Bi sont aussi harmoniqnement sépares par P et FT. Les angles formés par FAg et FB, ont donc aussi FP et VT pnur bissectrices. Il résulte immédiatement de là que les triangles AiAF, 6,6F sont semblables, et qu'on a la proportion
