CONSTRUCTION DES COURBES DU SECOND ORDRE ASSUJETTIES, ETC. I

M, N de \f qui coïncident avec les points correspondants M,, N| de v'|.

n. — Gonstmction des points communs à une conique et à une droite.

212. Étant donnés, dans un plan, une droite u et cinq points A, B, C, D, E d'une courbe du second ordre, construire les points communs à la courbe et à la droite u.

Étant donnés, dans un plan^ un point S et cinq tangentes à une courbe du second ordre, construii-e les tangentes à la courbe qui passent par le point S.

Les faisceaux de rayons A et B engendreront la courbe, s'ils sont rapportés projectivement entre eux, de telle sorte qu'aux rayons AC, AD, AE de Tun correspondent respectivement les rayons BC, BD, BE de Tautre. Mais la droite u coupe les faisceaux suivant deux ponctuelles projectives, dont les points unis (si elles en ont) sont les points communs à cette droite et à la courbe. Dès lors, selon que les ponctuelles auront deux points unis, ou un seul, ou qu'elles n'en auront aucun, la droite u coupera la courbe, ou la touchera en un point, ou n'aura avec elle aucun point commun.

On peut rechercher de cette manière (96, 97) si la courbe et la droite à Tinfini ont deux points unis, ou un seul, ou si elles n'en ont aucun, et l'on résout ainsi ce problème :

f^érifier si une courbe de second ordre dont on connaît cinq points est une hyperbole, une parabole ou une ellipse.

S'il s'agit de construire des points communs à une courbe du second ordre et à une droite, étant données cinq tangentes à la courbe, on détermine les points de contact des tangentes et Ton est ainsi ramené au problème précédent.

m. — Construction des courbes du second ordre assujetties

à des conditions données.

213. Construim une courbe du second ordre passant par quatre points donnés A, B, C, D, et tan-

Construire une courbe du second ordre tangente à quatre droites données a, ^, c, d et passant pur un

GBOMETBIE DE POSITION. — CUAPITRB XIV.

gente à une droite donnée u, qui ne passe par aucun des points donnés.

Les cotés du quadrangle déterminé par les quatre points donnés coupent la droite u en quatre points, qui forment deux couples d'une involution dont on cherche les points doubles.

S*il y a deux pointsdoub les (194), le problème est résolu par deux courbes du second ordre que l'on peut construire par points, en appliquant le théorème de Pascal.

S'il n'y a pas de points doubles, aucune courbe du second ordre ne satisfait aux conditions proposées.

Si la droite u est à distance infinie, le problème devient :

Construite une parabole qui passe par quatre points donnés A, B, C, D.

point donné S, qui n 'est sur aucune des droites données.

Les sommets du quadrilatère déterminé par les quatre droites données sont projetés du point S par quatre rayons, qui forment deui couples d'une in volution dont on cherche les rayons doubles.

S'il y a deux rayons doubles, le problème est résolu par deux courbes du second ordre que Ton peut construire par tangentes, en appliquant le théorème de Brianchon.

S'il n'y a pas de rayons doubles, aucune courbe du second ordre ne satisfait aux conditions proposées.

Si l'une des droites données esta distance infinie, le problème devient:

Construire une parabole tangente à trois droites données et passant par un point donné.

IV. — Deux polygones simples étant donnés dans nn plan, constrnire nn troisième polygone, inscrit à l'nn des denx premiers et circonscrit à l'antre.

214. Le problème peut encore être énoncé, avec plus de précision, dans les termes suivants :

Construire un polygone [n-gone) dont les sommets s^ appuient sur n droites Utf U2y u^, , . ., Un, données dans un plan, et dont les côtés passent par n points, 81,82,83, . . . , S„, donnés dam le même plan.

Projetons, du centre S|, les divers points de U| sur M2. Projetons ensuite, du centre 83 sur U3, la ponctuelle u^, obtenue par la projection précédente; puis, du centre 8j, la ponctuelle 1^3 sur U4, ..., et, finalement, du centre 8„, la ponctuelle u^ sur U|. Chacune des n •+• i ponctuelles projectives ainsi obtenues est une projection de la précédente, et deux d'entre elles, la première et

ÉLKUEXTS ACCOUPLÉS DANS DEUX FORMES ÉLÉMENTAIRES INVOLUTOIRES, ETC. I79

la dernière, reposent sur une même droite Ui . Chacun des points unis de ces deux ponctuelles fournira donc sur Uf le sommet d'un polygone satisfaisant aux conditions de Ténoncé. Il y aura, en général, deux points unis et, par suite, deux solutions.

Dans le cas particulier où les deux ponctuelles projectives ii| ont plus de deux points unis, et par conséquent tous leurs points unis, le problème comporte une infinité de solutions.

Il n'est pas nécessaire, d'ailleurs, que les droites ii|, 1^29 U3, . . ., u„ et les points S|, S2, S3, . . ., S„ soient, comme nous l'avons d'abord supposé, situés dans un même plan. Il suffit que S| soit dans un plan avec Ui et U2, et, pareillement, S2 avec 1^2 et U3, . . . , S„ avec w„ et U| ( * ).

y. — Éléments accouplés dans deux formes élémentaires involntoires

situées l'une sur l'autre.

215. Déterminer les éléments accouplés dans deux formes élémentaires inyfolutoires situées l'une sur l'autre.

Supposons que les deux formes élémentaires soient deux formes de points en involution, situées sur une même courbe du second ordre. Soient, dans l'une des formes {fig* 5()), deux points A et B de la courbe, respectivement conjugués aux points A| et Bi, et, dans l'autre forme, deux points C et D, conjugués aux points C| et D|. Déterminons les centres d'involution U et

V, tels que deux points conjugués ^

quelconques de l'une des formes de -^ aIv "'

points soient alignés avec U, et deux "^b1

points conjugués de l'autre forme avec V.

Si la droite UV est coupée par la courbe en deux points, X et X|, ces deux points sont conjugués entre eux dans chacune des deux formes involntoires de points. Si UV est tangente à la courbe, le point de contact est un point double de chacune des deux

(*) Le cadre de nos leçons ne nous permet pas d'entrer dans tous les déTeloppements que comporterait cet intéressant problème. On sait le parti qu'en a pu tirer PoRCiLn {jéppiicationt d*jinaijrse et de Géométrie^ etc., t. II, Paris, i86/|, p. 1-66).

l8o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — GIUPITEB XIV.

formes. Enfin, si UV n*a aucun point commun avec la courbe^ il n*y a, dans les deux formes involutoires, aucun point qui soit doublement conjugué à lui-même ou à un autre point. Ce dernier cas se présente seulement lorsque chacune des deux ponctuelles invoiutoires a deux points doubles (18o), car alors seulement les centres d'involution U et V sont situés en dehors de la courbe. Les polaires des points U et V se coupant d'ailleurs au pôle de la droite UV, c'est-à-dire à Tintérieur de la courbe, il s'ensuit que les points doubles de chaque ponctuelle sont séparés par les points doubles de l'autre.

Si les formes élémentaires invoiutoires sont deux faisceaux concentriques de rayons, situés dans le même plan, on les coupe suivant une courbe du second ordre passant par leur centre commun.

On peut ramener, de la même manière, tous les cas du problème général à celui que nous venons de considérer.

Le dernier résultat obtenu ne s'applique donc pas seulement à deux formes invoiutoires de points situées sur la même courbe du second ordre. Il peut être exprimé, d'une manière plus générale, par cet énoncé :

Deux formes élémentaires inv^olutoires situées l'une sur l'autre ont deux mêmes éléments, conjugués dans chacune d'elles, sauf le cas où les deux formes sont ins^olutoires opposées et où les éléments doubles de l'une sont séparés par ceux de l'autre. Si ces éléments, doublement conjugués entre eux y s'unissent, les formes invoiutoires ont un élément double uni.

Si les formes sont deux faisceaux de rayons du premier ordre, dont l'un orthogonal (198), celui-ci ne possède aucun rayon double ; de là ce cas particulier de la proposition :

Dans tout faisceau de rayons invoiutoires du premier ordre, il y a deux rayons accouplés rectangulaires.

216. Nous avons ainsi démontré de nouveau la proposition du n° 1 36, savoir :

V ellipse et l'hyperbole ont deux diamètres conjugués perpen^ diculaires entre eux, c'est-à-dire deux axes.

DÉTERIIINER, DANS UN FAISCEAU INV'OLUTOIRE DE RATONS, ETC. l8l

Tous les diamètres forment, en effet, un faisceau involutoire de rayons, si deux diamètres conjugués sont accouplés Tun à Tautre

Ce résultat appartient à la géométrie de la mesure, aussi bien que le problème suivant qui s'y rattache :

Etant donnés deux couples de diamètres conjugués d'une courbe du second ordre, construire les axes de la courbe.

Par le centre S de la courbe [fig* 60) où se coupent les diamètres donnés, on fait passer un cercle quelconque C, qui rencontre deux des diamètres conjugués aux points A, Ai et les deux autres en B, B|. Les points du cercle sont ainsi involutoirement accouplés, au moyen du faisceau de diamètres, et le point U d'intersection de AAi, BBi est le centre d'involution avec lequel s^alignent deux points conjugués quelconques du cercle. La droite qui joint le point U au centre C coupe le cercle en deux points conjugués, X et X|, qui sont projetés de S par les deux axes cherchés, SX et SX|.

Si le point U est extérieur au cercle, celui-ci a deux points doubles, M, N, qui sont projetés de U par deux tangentes au cercle et de S par les asymptotes de l'hyperbole à laquelle appartient, dans ce cas, le faisceau de diamètres donné (136).

YI. — Déterminer, dans on faisceau involutoire de rayons, deux rayons qui soient harmoniqnement séparés par deux points donnés de leur plan.

217. Nous supposerons, pour rendre la solution possible, que les points donnés M, N ne sont pas alignés avec le centre S du faisceau de rayons et qu'aucun rayon double du faisceau ne passe par l'un ou l'autre de ces points. Cela posé, projetons du point S, au moyen d'un second faisceau involutoire de rayons, la ponctuelle involutoire dont Met N sont les points doubles. Il ne reste plus qu'à déterminer les deux rayons qui sont conjugués entre eux dans chacun des deux faisceaux (215).

iHa GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE IIV.

Le même problème peut être posé pour d'autres formes élémentaires. On pourrait se donner, par exemple, à la place du faisceau S, une ponctuelle involutoire située sur la droite MN. Si, dans ce cas, le point N passait à l'infini, on aurait ce problème particulier :

Déterminer, sur une ponctuelle involutoire, deux points conjugués tjui soient à égale distance d'un point quelconque M, donné sur le lieu de la ponctuelle.

- Ëlémeota don]>les dana les formaB involotoirei.

218. Étant donné, daiin le plan d'untriangle, un faisceau ùipolaio/re ife rayons, dont aucun rayon double ne passe par l'un quelconque des sommets, circonscrire au triangle une courbe du second onlre par rapport à laquelle deux rayons accouplés du faisceau soient conjugués.

Etant donnée, dans le plan d'au triangle, une ponctuelle im^utoiir, dont aucun p.-int double n'appartient à l'un quelconque des côtés, inscrire au triangle une courbe d»

second ordre par rapport à laquelle deujc points accouplés de la ponctuelle soient conjugués .

Pour que le problème (à gauche] soit possible, il faut que le centre du faisceau involutoire donné F {Jig- t>t] ne coïncide avec aucun des sommets du triangle ABC; il faut, en d'autre»

termes , que deux côtés quelconques, ABetAC,dece triangle, ne passent pas par le point F.

S'il existe réellement une courbe satisfaisant aux conditions de l'énoncé, les côtés considérés, AB et AC, rencontreront la polaire du point F par rapport à celte courbe, respectivement eu deux points, tels que P et Q, dont les polaires passeront par le point F (108). Mais, d'une part, les points P et Q doivent être harmoniquement séparés de leurs polaires par la courbe, et, d'autre part, deux rajons accouplés du faisceau F doivent être conjugués par rapport à la même courbe. Nous pouvons donc déterminer les

ÉLÉMENTS DOUBLES DANS LES FORMES INVOLUTOIRES . l83

points tels que P et Q en construisant^ dans le faisceau F, deux rayons accouplés, p et p^y harmoniquement séparés par les points A et B, et deux autres rayons, ^ et ^i, harmoniquement séparés par les points A et C.

Si cette construction notait pas possible, aucune courbe du second ordre ne satisferait aux conditions de l'énoncé; mais l'impossibilité ne se produit que si le faisceau F a deux rayons doubles, séparés l'un de l'autre par A et B ou par A et C (215).

La droite AB étant coupée parles rayons^ et pi, respectivement en P etP|, et la droite AC par les rayons q et q^ en Qet Qi, nous pouvons faire Tune des quatre hypothèses suivantes :

1° P et Q sont respectivement les p<Mes de pi et de g^.

2** P et Q, » »» » pi et de q,

3** Pi et Q » • »» p et de qi*

4° Pi et Qi' » » » p et de q.

Chacune de ces quatre hypothèses conduit à une solution du problème proposé. Si c'est la première qu'on a faite, on cherchera sur la droite PC le point Ci, harmoniquement séparé de C par le point P et par sa polaire pt ; on cherchera pareillement sur QB le point B|, harmoniquement séparé de B par le point Q et par sa polaire ^ i .

La courbe du second ordre qui passe par les cinq points ABCB|C|, et dont on peut déterminer les autres points parles méthodes connues, satisfait à toutes les conditions du problème. En effet, elle est d'abord circonscrite au triangle ABC; d'autre part, deux couples de points. A, B et C, C| de la courbe, étant harmoniquement séparés par Pet^i, P est le pôle de pi et, par suite, le rayon FP, où p est conjugue au rayon pt ; le rayon q est, pareillement, conjugué au rayon ^i ; en sorte que deux rayons accouplés du faisceau F sont conjugués par rapport à la courbe.

Si le faisceau involutoire de rayons avait deux rayons doubles, c'est-à-dire deux rayons qui seraient tangents à la courbe du second ordre cherchée, le problème pourrait s'énoncer ainsi :

Circonscrire à un triangle donné une courbe du second ordre qui soit tangente à deux droites données dans le plan du triangle.

Inscrire dans un triangle donné une courbe du second ordre qui passe par deux points donnés dans le plan du triangle.

GEOMKTBIE DE POSITION. — CIUPITBE XIV.

Quand le faisceau F n'a pas de rayons doubles, le problème comporte quatre solutions. Tel est le cas qui se présente lorsque le faisceau F est orthogonal. Le point F est alors un foyer de la courbe cherchée. Nous avons donc incidemment résolu ce problème :

Circonscrire à un triangle donné quatre courbes du second ordre, qui aient pour Joyer commun un point donné.

219. Nous terminerons ce Chapitre par un problème qui, pour n'être pas du second degré, n'en est pas moins étroitement lié à celui qui précède :

Etant donnée, dans le plan d'un triangle ABC Ifig' 62), une ponctuelle inrolutoire u, dont aucun point double ne repose sur un côté, circonscrire au triangle une courbe du second ordre, par rapport à laquelle deux points accouplés de u soient réciproques.

Étant donne*, dans le plan d*un triangle ABC, un faisceau involutoire de rayons S, dont aucun rayon double ne passe par un sommet, inscriiv dans le triangle une courbe du second ordre, par rapport à la-^ quelle deux rayons accouplés de S soient réciproques.

Soient (à gauche) K| et M| les points de la forme involu-toire M, respectivement conjugués aux points K et RI où la droite u est coupée par AB, BC ; soient, en outre, Kj le point de AB harmoniquement séparé de K par les points A, B de la courbe, et M2 le point de BGharmoniquement séparé de M par les points B, C. La drojte K| K2 est la polaire du point K par rapport à la courbe cherchée; car les points K| et K2 sont tous deux conjugués au point K. Pareillement, M, M2 est la polaire du point M.

Cela posé, si C| est le point harmoniquement séparé de C par le point K et par la droite K1K2, et A| le point harmoniquement séparé de A par le point M et par la droite M1M2, la

ÉLÉMENTS DOUBLES DANS LES FORMES INVOLUTOIRES. l85

rbe cherchée passe par les cinq points A, B, C, A| , C|. En

:t, K est harmoniquement séparé de la droite K1K2, aussi

n par les points A et B de la courbe que par les points C et C| ;

îst donc le pôle de K1K2, et les points K, K| sont, conformé-

Qt aux conditions posées, réciproques par rapport à la

irbe. Il en est de même des points M, M,.

M la ponctuelle involutoire a deux points doubles, ces points

ivent être construits, et le problème est ainsi ramené à cet

re déjà résolu : Faire passer une courbe du second ordre par

\q points donnés dans un plan.

Le problème n'admet jamais qu'une seule solution.

l8G GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.