CHAPITRE XIV

PBOBLiaKs su skgoib dibeé.

Stivdt, Géométrie der Lage. Nûrnbcre, 1847, $ 13. — Reti, Die Géométrie der Ugi. Hannover, 1866, p. i3S-i4e. -^ Tbohh, Eètae gtomelrUehe GeiiUe ertttr lad ziveiter Ordnung vom Siaadpankte der Géométrie der Lage. R*lle, 1S73, p. 34-3;. — CuiiaMi, Elementi di Geonutria projeltimt. Torino, i8;3, % 19.

Fi|j. 57.

I. — Éléments unis dam ls> lormea élémontaiioa projoctdTei qsi repoiont l'nno anr l'antre.

210. Déterminer les points unis dans deux formes projectives de points, k et fc,, du second ordre, situées sur la même courbe.

Soient A, B, C {^g- Sy) trois points quelconques de k, et, respectivement, A,, Bi, C, lespointscorrespondanls de kt. En projetant li forme k, du point A et 1) forme A' du point A| , nous obtenons deux faisceauii projectifs de rayons A(A,B,C,)elA,(.\BC), qui sont en position perspective, puisque le rayon AjV, du faisceau A a pour correspondant le rayon A, A du faisceau A,. Les point* d'intersection de deuit rayons correspondants quelconques des faisceaux se trouvent donc sur la droite u, qui joint le point d'intersection de AB, et de A, B au point d'intersection de AC, el de A,C. Les points où la droite u rencontre la courLe sont les points unis des formes k et k,.

ÉLÉ&IENTS UNIS DANS LES FORMES ÉLÉMENTAIRES PROJEGTIVES, ETC. iy5

On obtient deux points unis ou un seul, ou l*on n'en obtient aucun , selon que la droite u coupe la courbe, ou la touche, ou ne la rencontre pas.

Le théorème de Pascal permet de trouver, sur la droite u, le point d'intersection des droites BC4 et 64 C. Les trois couples de côtés opposés de Thexagone AB| CA| BC|, inscrit à la courbe du second ordre, se coupent en effet sur u.

On détermine aussi la droite u en projetant les formes projectives ki et k, respectivement des points B et B, , ou encore des points C et C|, au moyen de deux faisceaux de rayons, qui sont également perspectifs.

En général, si P, Q sont deux points quelconques de k, et P| , Qi les points correspondants de /r,, le point d'intersection de PQi et de P| Q est sur la droite u. On peut donc construire la droite u, étant donnés trois points quelconques de k et les points correspondants de ki .

Quand les deux formes k elki sont en involution, elles constituent une courbe involutoire du second ordre. La droite u est l'axe d^involution.

Quand il existe des points doubles, la courbe est rencontrée en ces points par l'axe d'involution. Il sufGt en ce cas, pour construire u, de connaître deux couples de points conjugués, A, A| et B, B| . Aux points A, B, Ai de k correspondent en effet les points A|,B|, A de /:«, et u passe par les deux points où les droites AB| et AB sont respectivement coupées par les droites A| B et A| B| (fig. 44 et 45).

Le pôle de u, où se coupent les droites AA| et BB4, est le centre de Tinvolution, et si deux tangentes peuvent être menées à la courbe par ce point, elles ont pour points de contact les points doubles.

211. On peut ramener au problème précédent les divers autres cas qui se trouvent compris dans cet énoncé plus général :

Déterminer les éléments unis dans deux formes élémentaires situées l'une sur l'autre.

Si les formes élémentaires sont deux surfaces coniques ou deux systèmes de droites génératrices d'une surface doublement recti-

176 oioaÉTUB DE roernoN. — aurrru xir.

ligne, on les coupe par un plan quelconque, suivant deux fonnes projectives de points qui sont situées sur uue même courbe du second ordre.

S'il s'agit de deux faisceaux de rayons du second ordre, les courbes que ces faisceaux enveloppent sont encore situées l'uoc sur l'autre et projectives. Il sufGt alors de déterminer les points unis de ces courbes; les rayons cherchés passent par ces poinU.

Si les formes données sont deux faisceaux de rayons du premier ordre, concentriques et situés dans un même plan, on fait passer par leur centre commun une courbe du second ordre, qui la coupe suivant deux formes projectives de points, k et k,. Les deux rayons unis des faisceaux passent par les deux points unis de k et de k,.

Si les deux formes élémentaires projectives sont deux ponctuelles superposées, v et v, {fig- 58), on ramène ce cas au pré-

Fij. 58.

cèdent en projetant les ponctuelles d'un point quelconque S, a" moyen do deux faisceaux concentriques de rayons.

On faitpasserparS, dans le plan Sv, une courbe du second ordre, un cercle par exemple. On projette du point S, sur la courbe, irois points quelconques A, B, C de v, et les trois points correspondants A,, B,, C, de c,. On obtient ainsi les points A', B', C et A',, lî' , C, de la courbe, et la droite « est déterminée, puisqu'elle doit passer par les points d'intersection de A'B*, el de A',B', de B'C. et de B',C' de C'A', et de C',A'. Si donc la courbe du second ordre est coupée par « en deux points M', \, on projette ces points de S sur la droite v, et l'on obtient les points