II. — Formes réciproques

225. La loi de dualité nous conduit à une nouvelle relation simple, dite relation de réciprocité, entre les formes fondamentales d'ordre supérieur.

On appelle réciproques ou corrélatifs :

i^ Deux systèmes plans, S et Sf, si à tout point P de 2 correspond une droite pi de 2|, et à toute droite g de 2, passant par P, un point G| de 2| situé sur pt ;

a** Un système plan Z et une gerbe S|, si à tout point P de 2 correspond un plan tti de Si et à toute droite g de Z, passant par P, un rayon de S|, situé sur tTi*,

3*^ Deux gerbes, S et S|, si à tout rayon g* de S correspond un plan y, de S,, et à tout plan e de S, passant par gy un rayon et de S|, situé sur y|.

Nous pouvons définir cette condition de réciprocité, en des termes applicables aussi aux espaces, en disant :

Deux formes fondamentales de la seconde espèce ou de la troisième sont dites réciproques lorsqu'à deux éléments quelconques d'espèces différentes, tels que P et g, de l'une, P étant sur g, correspondent respectivement, dans l'autre, deux éléments />|, G| d'espèces différentes, pi passant par G| .

Il suit de là qu'à la droite de jonction de deux points quelconques A, B d'un système plan E doit correspondre, dans le

igo GÉOyÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE W.

système plan réciproque à S, le point où se coupent les droites qui correspondent aux points A et B.

Désignons, en effet, ces droites par a^j b^ et le point qui correspond à la droite AB par P, ; ce point doit se trouver sur fl| aussi bien que sur &i ; il n'est donc autre que le point d'intersection des droites a^ et &|.

Fice versa, le point d'intersection de deux droites d'un système plan a pour élément correspondant, dans 'le système plan réciproque, la droite de jonction des points qui correspondent aux deux droites considérées dans le premier système.

Deux gerbes réciproques donnent lieu à des relations analogues :

A tout plan déterminé par deux rayons quelconques d'une gerbe, correspond, dans la gerbe réciproque, le rayon suivant lequel se coupent les plans qui correspondent aux deux rayons de la première gerbe.

Dans le cas d'un système plan S et d'une gerbe S|, réciproque à ce système, la droite qui joint deux points quelconques, AelB, dans 2, a pour correspondante, dans S|, la droite d'intersection des plans qui correspondent aux points A et B ; et, de même, le point d'intersection de deux droites quelconques, a et b^ dans S, a pour correspondant, dans S|, le plan déterminé par les rayons qui correspondent aux droites a et b.

226. Deux Jormes fondamentales de la seconde espèce réciproques à une troisième sont collïnéaires entre elles, et vice versa, si, de deux Jormes fondamentales collinéaires, l'une est réciproque à une troisième, il en est de même de l'autre.

Si, par exemple, deux systèmes plans, 2| et Sa» sont réciproques à un troisième 2, à tout point P de celi|i-ci correspondent les droites p^ et p2 des deux premiers, et à toute droite g de S, passant par P, correspondent, dans Z| et dansZs, deux points, Gj et Ga, respectivement situés sur p^ et sur p2« Psir conséquent, à toute droite pi de Z| correspond une droite pa de Sa» et à tout point G| de 2| , situé sur p^ , un point Ga de Sa, situé sur pa- Donc Si et Sa sont collinéaires.

La seconde partie de la proposition peut être ramenée à la première, ou démontrée d'une manière analogue.