RELATION PROIECTIVE ENTRE LES FORMES FONDAMENTALES, ETC. I

227. «Si deux ^sternes plans sont réciproques, à la droite à l'infini de l'un correspond un point déterminé de t autre. Toute droite passant par le point ainsi déterminé dans l'un des systèmes contient les points du même système auxquels correspondent des droites parallèles dans le système réciproque (225).

m. — Relation projecUve entre les formes fondamentales

de la seconde espèce.

228. Deux formes de la seconde espèce^ collinéaires ou réciproques, sont projectis^es.

A tout système harmonique de Tune correspond en effet un système harmonique dans l^autre.

Soient, par exemple, A, B, C, D {Jig' 63) quatre points harmoniques d'un système plan S, et a^j &o ^n ^i les quatre rayons

correspondants d'un système plan 2| , réciproque à 2. Les points A, B, G, D étant situés sur une droite u, les rayons rt,, i|, C|, d^ doivent passer par un point U| (225). A tout quadrangle KLMN de 2, dont deux côtés opposés passent par A, deux autres par C, et les deux derniers respectivement par B et D, correspond, dans 2|, un quadrilatère h^l^m^n^j dont deux sommets opposés s'appuient sur ai, deux autres sur C|, et les deux derniers, respectivement, sur 6| et r2|. Donc ^i, &i, C|, d^ sont bien quatre rayons harmo-

iga GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

On déduit de là que :

Deux formes simples, qui se correspondent dans des formes fondamentales collinéaires ou réciproques, sont projectiles.

A quatre éléments harmoniques de Tune correspondent toujours, en effet, quatre éléments harmoniques dans l'autre.

229. Le théorème précédent fournit le moyen de rapporter projectivement entre elles deux formes fondamentales de la seconde espèce.

Soient, par exemple, à rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans, 2 et S| (Jig- 64). A tout point de Z devra cor-

Fig. 6}.

respondre un rayon de Z| ; à toute ponctuelle de 2, un faisceau de rayons, projectif à la ponctuelle, dans 2|, et vice versa. Prenons dans 2 deux ponctuelles, u et ^, et assignons-leur comme correspondants, dans Z|, deux faisceaux de rayons, U| et V^ en rapportant projectivement u à U| et ^^ à V|, de façon qu'au point commun P de u et de ^^ corresponde le rayon commun p^ de \}\ et deV..

Tout rayon h de 2, ne passant pas par P coupe les droites a etv respectivement en deux points A et D, auxquels correspondent respectivement les rayons a^ et d^ dans les faisceaux U| et Vi de Z|. Le point d'intersection K| de ces rayons a pour correspondant le rayon AD ou Ar.

A tous les rayons d'un faisceau S correspondent tous les point» d'une droite s^. En effet, les ponctuelles u et vf sont rapportées perspectivement entre elles, au moyen du faisceau S de rayons, de

RELATION PROJEGTIVE ENTRE LES FORMES FONDAMENTALES, ETC. IqS

façon à avoir le point P uni ; conséquemment, les faisceaux U|, V| sont aussi rapportés perspectivement entre eux, de façon à avoir le rayon p^ uni. Ces deux faisceaux perspectifs engendrent une ponctuelle s^y qui correspond au faisceau S de rayons.

On voit donc que, moyennant la correspondance des formes u et U|, V et V|, projectives entre elles, à tout rayon A: de Z est assigné, comme correspondant, un point K| de S|, et à tout point S, situé sur Ar, un rayon s^ passant par K, ; en sorte que les systèmes Z et Z| sont bien rapportés réciproquemeiit entre eux.

230. Pour rapporter collinéairement entre eux deux systèmes plans, S et Z|, il suffit de les rapporter réciproquement à un troisième, suivant le mode précédemment indiqué.

On déduit de là les procédés suivants :

1** Prendre arbitrairement deux ponctuelles, u eti^, sur Z, deux autres, iX| et i^i, sur 2| et rapporter projectivement m à W|, v k x^^y de telle sorte que le point commun uv* corresponde au point commun U| (^f.

2** Assigner comme correspondants à deux faisceaux quelconques U et V de S, deux faisceaux U| et V| de 2|, et rapporter projectivement U à U|, V à V|, de telle sorte que le rayon UV de S corresponde au rayon U| V| de 2| .

On pourrait, d^une manière analogue, rapporter collinéairement ou réciproquement deux gerbes, ou une gerbe et un système plan. Mais il est plus commode de ramener ces cas à ceux que nous avons déjà traités, en substituant à chaque gerbe une de ses sections planes.

Pour rapporter réciproquement entre elles deux gerbes, S et S|, on peut prendre à volonté dans S deux faisceaux de rayons a et |3 et dans S| deux faisceaux de plans a^ et &| ; a est rapporté projectivement à ai et /3 à é|, de telle sorte qu'au rayon commun «(3 des faisceaux de rayons corresponde le plan commun a^ b^ des faisceaux de plans. Dans ces conditions, tout élément déterminé de la gerbe S| correspond à un élément de la gerbe S.

231. Pour rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans 2 et 2| {Jig' 64), nous avons pris d'une manière arbitraire (229) les droites u tl \f dans Z et les points correspon-

danls U| et V| dans 2|. Nous avons pu, en outre, rapporter projectivement u à U| et ^^ à V| d'une manière quelconque, sous la seule condition que le point uv* ou P ait pour correspondante la droite de jonction U|V| ou^|. Nous pouvons donc encore assigner comme correspondants, à deux points quelconques A et B de u, deux rayons quelconques a^ et &i deU|, et de même, à deux points quelconques G et D de i^, deux rayons quelconques C| etrfi de V|. A tout élément de 2 est alors assigné, comme correspondant, un élément déterminé de 2|.

On peut évidemment, sous la condition déjà exprimée, considérer ABGD comme un quadrangle tout à fait quelconque du plan 2 et, pareillement, a^bxC^d^ comme un quadrilatère tout à fait arbitraire du plan 2| ; donc :

Pour rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans, S, 2|, il suffit d' assigner arbitrairement aux sommets A, B, G, D d'un quadrangle quelconque de 2, les côtés a^ b^y c^j d^ d'un quadrilatère quelconque de 2| ; un élément déterminé deYt^ est alors assigné comme correspondant à tout élément de L.

On peut, de même, rapporter collinéairement entre eux deux systèmes plans, et faire ainsi que deux quadrangles ou deux quadrilatères de ces systèmes correspondent l'un à l'autre d'une manière déterminée. Le théorème peut être étendu à des formes fondamentales quelconques de la seconde espèce, puisque tous les cas possibles peuvent être ramenés à celui que nous venons de traiter.

Nous dirons donc, en généralisant :

Deux J ormes Jond amentales de la seconde espèce peuvent être rapportées projectis^ement entre elles, de telle façon que quatre éléments quelconques A, B, G, D de la même espèce dans lune, dont trois n appartiennent jamais à une même forme fondamentale simple, soient assignés comme correspondants à quatre éléments A|, B|, G|, D| f/e l'autre forme.

Deux éléments correspondants, tels que A et A|, sont les lieux de deux formes fondamentales simples, rapportées projectivement entre elles, de telle façon qu'aux éléments AB, AG et AD correspondent respectivement les éléments A|B|, A| G| etA|D|.