CONSIDÉRATIONS AN.VLOGUËS POUR LES SURFACES CONIQUES. I

damentale k (122). Par suite, les points à rin(inideA2 ne peuvent correspondre qu'à des tangentes menées du point O à la courbe Jti. La courbe âtj sera donc une ellipse ou une hyperbole, selon que le point O sera intérieur ou extérieur à la courbe A"i ; /r^ sera une parabole si O est un point de ki .

Si A est le pôle d'une droite a par rapport à A"|, et si ai, A< sont respectivement la polaire de A et le pôle de a par rapport à ky A| sera le pôle de a, par rapport àÂ2 ; car à un système harmonique de quatre pôles correspond un système harmonique de quatre polaires (i09) et vice versd. Donc le centre G de k^ sera le pôle, relatif à /r, de la droite c qui est, par rapport à ky, la polaire du point O. Deux diamètres conjugués de k^ correspondront à deux points de la droite c, réciproques par rapport à /l'i, et ainsi de suite.

239. Si Ton donne, dans le plan d'une conique fondamentale, un complexe quelconque de points, de droites et de courbes, et si Ton construit la polaire de chaque point, le pôle de chaque droite, la courbe polaire réciproque de chaque courbe, on obtient un nouveau complexe de droites, de points et de courbes, qui est polaire réciproque du premier, puisque chacun des deux contient les pôles des droites de l'autre, les polaires des points de l'autre, les courbes polaires des courbes de l'autre. Si l'un de ces complexes exprime la démonstration d'un théorème, ou la solution d'un problème, le second exprimera la démonstration du théorème corrélatif ou la solution du problème corrélatif, par l'échange des éléments point et droite. Par exemple, à chaque propriété des polygones inscrits dans les coniques doit correspondre une propriété des polygones circonscrits de même espèce, et réciproquement. On peut même dire, en général, qu'il n'existe aucune relation graphique (34) d'une forme donnée dans un plan qui n'ait sa réciproque dans une autre forme; à moins, toutefois, que la relation proposée ne soit elle-même sa réciproque, ce dont il y a des exemples,