V. — Gonrbes polaires réciproques

236. Les considérations du numéro précédent, relatives à la correspondance des courbes dans les systèmes plans réciproques, reposent sur un théorème déjà démontré (108), en vertu duquel, une conique fondamentale étant donnée, si un point ou pôle variable décrit une droite p, la polaire de ce point pivote autour d'un autre point qui est le pôle de p\ et réciproquement, si une droite, prise comme polaire, pivote autour d'un point fixe P, le pôle de cette droite parcourt une autre droite, qui est la polaire du point P. En conséquence :

Si deux courbes quelconques, situées dans le plan d 'une conique donnée, sont telles que les points de l'une soient respectivement les pôles des tangentes de l'autre, les points de celle-ci seront, réciproquement, les pôles des tangentes de la première; de sorte que chacune des deux courbes pourra être considérée, soit comme l'enveloppe des polaires des points de l'autre, soit comme lieu des pôles des tangentes de cette autre.

Deux courbes dans ces conditions sont dites polaires réciproques (*).

237. Une courbe du /i'*"* ordre est généralement rencontrée par une transversale en n points. Chacun de ces points est le pôle d'une tangente à la courbe réciproque, et cette tangente passe nécessairement par le pôle de la transversale arbitraire. Le système de la transversale et de ses points d'intersection avec la première courbe est donc remplacé, dans la figure réciproque, par le système d'un nombre égal de tangentes, concourant en un même point, qui est le pôle de la transversale. Ces deux systèmes scot d'ailleurs réciproques, ce qui revient à dire que :

Deux courbes réciproques étant données, si l'on mène d'un même point toutes les tangentes possibles à l'une d* elles, le système de ces tangentes a pour polaire une droite qui rencontre l'autre courbe en un nombre de points indiqué par l'ordre de celle-ci j et précisément égal au nombre des tangentes [respectis^ement polaires de ces points) qu'on a menées à la première courbe.

238. On a vu (235) que la courbe polaire réciproque d'une conique est une autre conique. Il s'agit maintenant de rechercher les caractères distioctifs auxquels on reconnaît que la polaire réciproque h'i d'une conique k^ est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

La droite à l'infini est la polaire du centre O de la conique fon-

(*) Cette dénomination est due à Poncelet (Traité des propriétés projectiles des Jigures, etc. Paris, 1823, n^ 232, et Paris, i865, t. II» section II et section supplémentaire). A nos précédentes observations (note de la p. i4)» nous ajouterons seulement que deux figures polaires réciproques sont deux figures réciproques ou corrélatives dans le sens de la loi de dualité (Chap. III), car à tout point de l'une correspond une droite dans l'autre, à toute ponctuelle de la première un faisceau dans la seconde Ces figures sont d'ailleurs dans un même plan et ont une position mutuelle déterminée, car tout point de l'une et la droite correspondante de l'autre sont liés par la condition d*être pôle et polaire par rapport à une conique fixe. Au contraire, deux figures corrélatives, assujetties aux seules conditions de la loi de dualité, n'ont entre elles aucun lien de position mutuelle. (Voir Steimer, Systematische Entwickelung^ etc. Berlin, i83a, Vorrede, p. 7.)

La réciprocité des figures peut encore s'entendre dans un sens difiîérent des deui que nous venons d'indiquer; nous reviendrons plus loin sur ce sujet.