VII. — Éléments unis dans les systèmes coUinéaires

241 . Quand deux formes fondamentales, collinéaires ou réciproques, Z et Z|, sont en position telle qu'il y ait coïncidence, non-seulement entre les lieux a et «i de deux formes fondamen taies simples correspondantes quelconques, mais encore entre trois couples d'éléments homologues de ces formes simples, deux éléments correspondants quelconques de a et a^ coïncident de la même manière (43) et, par suite, les formes S, 2| ont comme élément uni tout élément des formes a et ai.

Donc :

Si deux systèmes plans collinéaires, non situés dans le même plan, ont trois points unis sur la droite d'intersection de leurs plans , tous les points de cette droite sont des

Si €leu.r gerbes collinéaires , non concentriques, ont trois plans unis, passant par le rayon qui joint leurs centres, tous les plans qui contiennent ce rayon sont des éléments unis

éléments unis des deux systèmes, \ des deux gerbes.

Cette double proposition s'applique, moyennant une légère modification, aux systèmes plans superposés et aux gerbes concentriques.

Si deux systèmes plans collinéaires, S et Z4 , situés dans le même plan, ont comme éléments unis tous les points de deux droites, u et v, ou tous les rayons de deux faisceaux, S et T, chaque élément de E coïncide as^ec son correspondant de^x.

En effet, dans le premier cas, chaque droite du plan correspond à elle-même, puisqu'elle joint deux points correspondants des

CONDITION DB PERSPECTIVITE.

droites u et v; et tout point correspond à lui-même, puisqu'on peut le considérer comme intersection de deux droites qui se correspondent.

De même, dans le second cas, tout point du plan correspond à lui-même, puisqu'il est l'intersection de deux rayons correspondants des faisceaux S et T, et toute droite du plan peut être considérée comme la ligne de jonction de points placés dans la même condition.

242. Deux systèmes collinéaires, situés dans le même plan, ont tous leurs points unis et sont par conséquent identiques, quand ils ont comme éléments unis les sommets d'un quadrangle ou les côtés d'un quadrilatère.

En effet, les deux systèmes collinéaires qui ont comme éléments unis les sommets A, B, C, D d'un quadrangle ou d'un quadrilatère simple ont aussi comme éléments unis les rayons AB, AG, AD, et par conséquent tous les rayons du faisceau A, aussi bien que les rayons BA, BG, BD, et par conséquent tous les rayons du faisceau B. De là résulte le théorème énoncé.

Deux systèmes plans collinéaires quelconques, situés l'un sur l'autre, ont donc, en général, comme éléments unis, trois points au plus et les droites qui les joignent.

On a, pour deux gerbes collinéaires concentriques, des théorèmes analogues, qu'on ramène facilement à ceux dont l'énoncé précède, en coupant les gerbes par un plan.

vni. — Condition de perspectivité.

243* Si deux systèmes plans collinéaires, 2, et 2,1^ sont situés dans des plans différentSy et si les rayons qui Joignent les sommets d'un quadrangle de Je aux points correspondants de 2| se coupent en un point S, les deux systèmes plans sont perspectifs et sections de la gerbe S.

Si deux gerbes collinéaires, S et Si, ont des centres différents, et si les rayons suivant lesquels les faces d'un angle tétraèdre de S coupent les plans correspondants de S| sont situés dans un même plan 2, les deux gerbes sont perspectives et projections du système plan 2.

Si un système plan 2 et une gerbe S| sont collinéaires, et si les sommets d'un quadrangle dans Z reposent sur les rayons correspondants de Si, les deux formes sont perspectives, c'est-à-dire que la première est une section de la seconde.

Ces propositions sont des conséquences immédiates des théorèmes qui les précèdent.