COURBES CORRESPONDANTES DANS LES SYSTEMES ALLIES

Soient k et ki [fig. 68) les deux paraboles doonées, CA et Cfi les tangentes aux points A et B de la première. Ci A^ et CiBi les tangentes aux

Fiç. 68.

points Ai et B^ de la seconde. Si nous prenons les triangles ABC, A^BiCi comme correspondants dans les deux systèmes allies, la parabole k du premier système, qui passe par les points A et B et qui touche en ces points les droites AC, BC, aura précisément pour correspondante, dans le second système, la parabole Ai, qui passe par les points Ai et B| et qui touche en ces points les droites Ai Ci, Bi Ci.

Le segment parabolique AAB et le triangle ACB sont entre eux dans le même rapport que le segment Ai Arj Bi et le triangle A^CiBi. Mais les points A, B ont été pris arbitrairement sur la parabole k ; donc :

Fig. ^,

Un segment parabolique quelconque est en rapport constant avec le triangle formé par sa corde et par les tangentes aux ex^ trémités de son arc.

Soit G [fig' 69) le point milieu de la corde AB ; la droite CG est rencontrée en son milieu Dpar la parabole (138). Soit, d'autre part, £F la tangente à la parabole au point D; cette droite est parallèle à la corde AB et divise en deux parties égales les tangentes AC, BC. Si nous représentons par (AB), (DE), (AD) les s^ments paraboliques respectivement limités par les cordes AB, DB, AD, nous aurons

(ABl fDBl (AD)

' • ^= :^z ■ nr m

ABC DBF ADE

m étant un nombre constant.

Oa voit d'ailleurs, [>ar la figure, que

(AB) = ABD -f. (DB) -f- (AD);

donc

Mais

On a donc

m (ABC — DBF — ADE) = ABD.

CD = DG, CFrzzFB, CE = EA.

ABD = ^ ABC , DBF H- ADE = FCE = j ABC,

et l'fkfuation ( i ) devient

w(ABC — :^ABC)=iABC; d'où m = \',