II. — Surface engendrée par denx gerbes réciproqnes

264. Deux gerbes réciproques non concentriques étant données, le lieu des points oit les rayions de l'une rencontrent les plans correspondants de l'autre est une surface du second ordre qui passe par les centres des deux gerbes.

Soit Y la surface engendrée par les gerbes données, S et S|,et soit a un plan quelconque de S, coupant la surface suivant une courbe qu'il s^agit de déterminer. Au plan a correspond, dans la gerbe S|, un rayon ai, et au faisceau de rayons de S, situé dansle plan a, correspond, dans S|, un faisceau de plans qui a pour axe le rayon «|. Ces deux faisceaux correspondants et projeclifs (228) engendrent (142, III) une courbe du second ordre qui est commune au plan a et à la surface Y. La même courbe peut d'ailleurs être considérée comme engendrée par le faisceau de rayons de S situé sur a et par le faisceau de rayons suivant lequel le faisceau de plans a^ est coupé par le plan a ; par où Ton voit que la courbe du second ordre commune à la surjace ^ et au plan a passe par les points S et a^a (64).

On démontrerait de la même manière que tout plan de la gerbe S| coupe la surface V suivant une courbe du second ordre qui passe par le point S| .

Il suit de là qu'une droite quelconque g, nécessairement située dans un plan Sg^ qui coupe la surface suivant une courbe du second ordre, a tout au plus deux points communs avec cette courbe et par suite avec la surface elle-même. Y est donc une surface du second ordre passant par les centres S et S| des gerbes génératrices.

La droite g pourra, dans un seul cas particulier, être contenue tout entière dans la surface. Ce cas est celui où un rayon quelconque du faisceau a repose sur le plan correspondant du faisceau a|. La courbe d'intersection se résout alors en un système de deux droites (98).

265. Toute droite g y passant par S, a en général un second point, différent de S, commun avec la surface. Ce point est celui où la droite g est coupée par le plan ^i qui lui correspond dans la

SUBFACB BKGENDRKB PAR DEUX GERBES RÉCIPROQUES. 21 9

;erbe S|. Il coïncide avec S dans le cas seulement où yi passe par e rayon S| S, commun aux deux gerbes.

Tout rayon de S, qui n'a pas un second point commun avec la iurfacCy est tangent à celle-ci au point S.

266. A toute tangente en S correspond un plan passant par SS|. Foutes les tangentes à la surface, passant par S, sont donc siuées (22o) dans le plan de la gerbe S qui correspond au rayon commun SS|. Ce plan est appelé plan tangent à la surface du second ordre au point S. Donc :

Le rayon commun aux deux gerbes génératrices d'une surface iu second ordre a pour correspondant, dans chacune des deux fjerbes, un plan tangent à la surface,

267. A la proposition fondamentale du n® 264 correspond la proposition inverse suivante :

Une surface quelconque du second ordre ¥ peut toujours être engendrée au moyen de deux gerbes réciproques, ayant pour centres deux points S, S| pris arbitrairement sur la surjace.

Soient, en effet, X et fx les deux coniques d'intersection de la surface Y et de deux plans qui passent par S, mais non par Si. Soit T le point où la droite commune aux deux plans rencontre dr nouveau Y ; ST est une corde commune aux deux coniques X et /x. Faisons passer par la droite SiT un plan, pris arbitrairement, qui rencontre de nouveau X en L et fx en M. Soient, finalement, L| et La deux autres points quelconques de X et M|, Mq deux autres points de |tx.

Construisons (230) deux gerbes réciproques, ayant pour centres S, Sj, et telles qu'aux rayons S(L|, Lo, M|, M2) correspondent les plans Si(LLi, LL2, MM|, MM2). Au rayon ST, commun aux plans SLL1L2, SMMiM2, correspondra dès lors le plan S|LMT. Soit ^ X la surface du second ordre engendrée par les deux gerbes considérées. La section de cette surface par le plan SLL1L2 est la conique engendrée par les faisceaux projectifs S(T, L|, L2), L(T, Li, L2). Cette conique passe parles cinq points S, L, Li, L2,T; elle coïncide donc avec X. De même, la section de Y| par le plan

2'iO GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE XVI.

SMM1M2 coïncide avec jtx. Les coniques X, fx elle point So sîtué en dehors d'elles, sont donc communs aux surfaces V eiVi. Tout plan passant par Si coupe V et ¥| suivant deux coniques qui coïncident, car elles ont cinq points communs : le point S| et les quatre intersections du plan considéré avec X et avec (jl. Donc les surfaces Y et S'i se réduisent à une seule.

Les propriétés démontrées pour les centres arbitrairement choisis des deux gerbes génératrices de la surface du second ordre s'étendent à tous les autres points de cette surface ; donc :

Une sur J ace du second ordre est touchée, en un quelconque de ses points, par un plan qui contient toutes les tangentes à la surface en ce point.

Tout autre plan, passant par le même point, coupe la surface suiv^ant une conique qui, dans un cas particulier, se résout en deux droites.

Le plan S|LMT ayant d'ailleurs été pris arbitrairement, nous concluons que :

Deux gerbes, dont les centres sont sur une surface du second ordre, peuvent être rapportées entre elles d'une infinité de manières, de façon à engendrer la surface.