VI. — Surfaces polaires réciproques

277. La polarité des surfaces du second ordre conduit à un cas particulier de la réciprocité dans Tespace.

Un système quelconque de points, de droites et de plans étant donné, si Ton détermine, par rapport à une surface fixe du second ordre, les plans polaires de ses points, les droites polaires de ses droites et les pôles de ses plans, on obtient un second système dont les points, les droites et les plans correspondent respectivement aux plans, aux droites et aux points du premier. Aux points d'une droite correspondent les plans passant par une autre droite; en d'autres termes, à une ponctuelle correspond un faisceau de plans, et il est évident que ces deux formes sont projectives (228). Deux systèmes ainsi disposés sont dits polaires réciproques. A tout théorème, relatif à l'un, correspondra le théorème réciproque, relatif à l'autre.

Si, dans le premier système, un point décrit une surface S du ,^iénie ordre, le plan correspondant à ce point, dans le second système, restera tangent à une surface £| de la n»*"»* classe (*). A un point P de la première surface correspondra un plan ir,, tangent à la seconde ; aux droites tangentes à S en P correspondront les droites tangentes à S, et contenues dans le plan 7i|. Mais les premières tangentes sont dans le plan tt, qui touche E en P, et les secondes passent par le point Pi, où S i est touchée par tTi ; donc le plan t: est précisément celui qui correspond au point Pi .

Il résulte de là que, si un point décrit la surface Sf dans le second système, le plan correspondant du premier système restera tangent à la surface S. Dès lors, si S est de la /i»*™« classe, S| sera du ^^ième ordre. Ainsi apparaît manifeste la parfaite réciprocité entre les surfaces £ et S,, qu'on appelle, pour ce motif, surf aces polaires réciproques (2).

(* ) ISordre d'une surface quelconque est déterminé par le plus grand nombre d'intersections possibles de cette surface avec une droite. La classe d'une surface déTeloppable dépend du plus grand nombre de plans tangents qu'on peut mener à cette surface d'un même point.

(*) II convient de rappeler, à ce sujet, le Mémoire de Mo:<ge sur les turf aces rici' proqttes, qui est mentionné dans une liste de ses différents Mémoires, placée au eom-