GBKBB DE PL.\NS ENVELOPPE DE TOITTE SURFACE DU SECOND ORDRE
Il est presque superflu d'ajouter que tout polyèdre inscrit dans Tune des deux surfaces a pour polaire réciproque un polyèdre circonscrit à l'autre, et "vice versa.
¥n. — Gerbe de plans enyeloppe de toute surface du second ordre.
278. Toute sur/ace du second ordre est enveloppée par une gerbe de plans du second ordre.
Considérons la surface du second ordre engendrée par deux gerbes réciproques, S etS|, c'est-à-dire la surface dont chacun des points est déterminé (264) par l'intersection d'un plan de S et du rayon correspondant de S|. Les plans et les rayons de ces deux gerbes réciproques ont respectivement pour pôles et pour polaires, par rapport à la surface du second ordre, des points et des droites situés sur les plans polaires des centres S et S|, c'està-dire (274) sur les plans tangents à la surface en S et en S|. Ces points et ces droites constituent donc deux systèmes plans, S et
meneement de son jipplication de l'Analyse à la Géométrie (3^ édition, Paris, 1809, p. 4)« Ce Mémoire n'a pas été publié, mais il résulte d'une Note jointe à son titre que les surfaces considérées par Mojige sont polaires réciproques par rapport au paraboloîde de rérolution qui a pour équation a;'-r-^r'= a. Il est à re^rretter que le Mémoire de Mo!iGB soit resté inédit. Il eût été intéressant de connaître la Toie qui a eondait ce géomètre à ses surfaces réciproques, et surtout de savoir quel usage il faisait de cette inrention.
Chasles a fait connaître un nouTeau système de surfaces réciproques, ana1o{^es à celles de Mojige, mais qui ne font point partie des surfaces polaires. Ces nouvelles surfaces ont entre elles une relation géométrique que Chasles exprime de la manière soirante : Une surface étant donnée^ on pourra lui imprimer un mouvement infiniment petit, tel que les plans normaux aux directions que prendront ses digèrent s points, pendant ce mouvement, seront précisément les plans tangents à la surface réciproque. Le mouvement à imprimer sera le résultat des deux mouvements élémentaires simultanés, dont le premier sera de révolution autour de l'axe des z regardé comme fixe ^ et le seeond de translation dans la direction de cet axe.
Ces dernières surfaces réciproques et celles de Moxge sont des cas particuliers de surfaces dont l'expression analytique, beaucoup plus générale, a été donnée par CaASUU \Apercu historique, etc. Bruxelles, 1837, Note XXX. — Rapport sur les progrès de la Géométrie. Paris, 1870, p. 90}. Voir aussi, au sujet des surfaces réciproques considérées par Monge, les recherches de A. de 1V1orga?i : Mcthods of integrating partial differential Equations ( Transactions de la Société philosophique de Cambridge^ i8i9, t. VIII, p. 6o6-6i3). — On some points of the intégral Calculus {laid., i8ji, t. IX, p. 119).
Sj, qui sont évidemment réciproques (225, 275) et qui engendrent (263, 264) une gerbe de plans du second ordre à laquelle appartiennent les plans £ et D{. Tout plan de cette gerbe contient un point P de 2, par exemple, et le rayon correspondant p^ de Ij. Mais le point P de 2 est, par construction, le pôle d'un plan tt de S et le rayon p\ de S| est la droite polaire du rayon /7, de S| qui correspond au plan tt. Le plan Vp\ de la gerbe du second ordre est donc le plan polaire du point izp^ ; et, comme ce point appartient à la surface (264), son plan polaire P/?', est tangent à la même surface en iip^ , La surface du second ordre est donc enveloppée par la gerbe du second ordre formée de l'ensemble des plans tels que P/^', .
Vin. — Points conjugués et plans conjugués.
279. Deux points, P et Pj, sont dits conjugues par rapport à une surface du second ordre, quand l'un d'eux, P,, est situé sur le plan polaire TT de l'autre; auquel cas le point P est pareillement situé sur le plan polaire ttj dePj (274).
Un point P et une droite g sont conjugués quand P est sur la polaire de g et quand, par suite, le plan polaire de P passe par g.
Deux plans, ir et tt,. sont dits conjugues par rapport à une surface du second ordre, quand Tun d'eux, 77 j, passe par le pôle P de l'autre; auquel cas le plan tt passe pareillement par le pôle Pj de xr,.
Un plan iz et une droite g sont conjugués quand tt passe par la polaire de g et quand, par suite, le pôle de TT est sur g.
Deux droites sont dites conjuguées lorsque chacune d'elles et la polaire de Tautre sont situées dans un même plan.
Un point est donc conjugué à tous les points et à tous les rayons situés dans son plan polaire ; un plan, à tous les rayons et à tous les plans qui passent par son pôle; enfin, une droite g à tous les points situés sur sa polaire g\, à tous les plans qui passent par ^y et à toutes les droites qui sont coupées par g^, .
Tout point de la surface, toute droite tangente et tout plan tangent à la surface, sont conjugués à eux-mêmes.
280. Si deux points AetB sont conjugués par rapport à une surface
iSi deux plans v. et p sont conjugués par rapport à une surface du
POINTS CONJUGUES ET PLANS CONJUGUES. a3l
de second ordre, ils sont aussi conjugués par rapport à toute courbe du second ordre résultant de la section de la surface par un plan du faisveau AB*
second ordre, ils sont aussi conjU' gués par rapporta toute surface conique du second ordre enveloppant la surface et ayant pour centre un point de la droite a|3.
En effet, d'après l'hypothèse, le plan polaire du point A passe par B. Ce plan contient d'ailleurs la polaire de A par rapport à la courbe d'intersection du second ordre; cette polaire commune à deux plans doit par conséquent contenir le point B, commun aux deux mêmes plans.
Il résulte de là que, si g est une droite non conjuguée avec elle-même, et si l'on rapporte entre eux deux points conjugués de la ponctuelle g, ou deux plans conjugués du faisceau gj les points de la ponctuelle ou les plans du faisceau seront accouplés involutoiremcnt.
Si, dans un faisceau de rayons, dont le centre et le plan ne sont pas conjugués avec eux-mêmes, les rayons conjugués se correspondent deux à deux, tous les rayons sont accouplés involutoi rement.
Cette dernière proposition peut être ramenée à la précédente, car on peut déterminer, dans le plan du faisceau, un point conjugué à chaque rayon ; on obtient ainsi une ponctuelle en involution, à laquelle le faisceau de rayons est perspectif.
a32 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX aiAPITRES XVI ET XVII.
