III. — Axes principaux et sommets
287. Tout diamètre d'un ellipsoïde ou d'un hyoerboloïde est conjugué h un plan diamétral et à tout diamètre situé dans ce plan.
Le plan diamétral divise en deux parties égales les cordes de la surface qui sont parallèles au diamètre conjugué, et vice versa, le diamètre passe par les centres de toutes les coniques de la surface dont les plans sont parallèles au plan di€imétral conjugué.
l34 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES XVI ET XVII.
Deux diamètres, conjugués par rapport à une surface du second ordre, sont aussi conjugués par rapport à la courbe d'intersection de cette surface et de leur plan.
En effet, toutes les cordes de la courbe, parallèles à l'un des diamètres, sont divisées par Tautre en deux parties égales.
Les diamètres de la surface situés dans le plan sécant sont, par consé- (juent, involutoirement accouplés (280).
Un diamètre perpendiculaire aux plans des sections dont il contient les centres i)rend le nom à^axe principal de la surface du second ordre. Les points où l'axe rencontre la surface se nomment sommets.
288. Si la surliice est un parabololde, elle n'a qu'un seul axe principale, sur lequel se trouvent les centres des coniques (sections de la surface) dont les plans sont perpendiculaires à la direction commune de tous les diamètres.
Les plans diamétraux qu'on peut faire passer par l'axe a sont conjugues entre eux deux à deux. Le faisceau de plans a est donc involutoire (280). En le coupant par un plan perpendiculaire à a, on détermine un faisceau involutoire de rayons; et, selon que ce dernier faisceau est ou n^est pas rectangulaire, tous les couples de plans conjugués du faisceau a^ ou seulement deux plans, a et aj, de ce faisceau, sont perpendiculaires entre eux. ]^ plan a, perpendiculaire et conjugué à tous les plans perpendiculaires à l'axe principal a, est d'ailleurs perpendiculaire à la direction dans laquelle est situé son pôle à l'infini; il divise donc en deux ])arties égales toutes les cordes du paraboloîde qui lui sont perpendicuLiires, et peut dès lors être nommé plan de symétrie de la surface, La même remarque s'applique au plan «j, conjugué rectangulaire de «. Donc :
Le paraboloîde a au moins deux plans de symétrie qui se coupent h angle droit suivant l'axe principal.
Lorsque tous les plans passant par l'axe de symétrie a sont des plans de symétrie, toutes les courbes d'intersection du parabololde par des plans perpendiculaires à a sont des cercles, car elles ont un faisceau de diamètres orthogonaux (132). On a, dans ce cas, un paraboloîde de rotiition.
289. Les diamètres d'un ellipsoïde ou d'un hyperboIo!de ne sont pas, en général, perpendiculaires aux plans diamétraux qui leur sont respectivement conjugués. Lorsque cette condition se réalise, tout diamètre est un axe principal de la surface, et l'on a, comme cas particulier de l'ellipsoïde, la surface sphérique. Chaque faisceau de diamètres est alors rectangulaire et, conséquemment, le plan de chaque faisceau coupe la surface suivant un
