AXES PRINCIPAUX ET SOMMETS

cercle. On voit encore par là que, dans ce cas particulier, tous les points de la surface sont ëquidistants du centre.

En général, pour l'ellipsoïde comme pour Thyperboloîde, à un diamètre quelconque d correspond un seul dian)ètre conjugué perpendiculaire r/j, qui est l'intersection de deux plans diamétraux, Tun ^i perpendiculaire à d et l'autre S conjugué au même diamètre.

Si le diamètre il décrit, autour du centre de la surface, un faisceau 7 de rayons, le plan diamétral J, conjugué à d^ décrit un faisceau de plans projectif au faisceau 7 (275) ; Taxe g de ce faisceau de plans est conjugué à 7. Dans le même temps, le plan diamétral S^^ normal à </, décrit un second faisceau de plans, dont l'axe g'i est normal au plan 7. Le faisceau de plans ^1 est également projectif au faisceau de rayons 7; car deux rayons quelconques de celui-ci comprennent entre eux le même angle que les plans du premier qui leur sont res[)ectivement perpendiculaires. Les faisceaux de plans g et ^'1 sont par conséquent projectifs entre eux et engendrent, en général, une sur* face conique du second ordre. En d'autres termes :

Si un diamètre d de V ellipsoïde ou de Vhyperholoïde décrit autour du centre un faisceau 7 de rayons y le diamètre di, qui est conjugué et perpen^ diculaire à d, décrit en même temps autour du centre une surface conique du second ordre.

Une exception se présente dans le cas où le faisceau 7 de rayons contient un axe principal de la surface; alors, en effet, les faisceaux de plans g et gx ont comme élément uni le plan diamétral conjugué à l'axe principal, et sont |)ar conséquent perspectifs.

290. Les résultats qui précèdent servent à la recherche des axes princi* ])aux dans l'ellipsoïde et dans Thyperboloîde.

On suppose construites les surfaces coniques du second ordre F et E, relatives à deux faisceaux de diamètres 7 et « ; s est choisi de telle sorte qu'un diamètre intérieur et un autre extérieur à la surface conique r soient situés sur E. I^s surfaces coniques concentriques F et E se coupent donc, et elles ont au moins deux rayons communs, quatre au plus. Un de ces rayons communs est conjugué et perpendiculaire au rayon commun des faisceaux de diamètres 7 et «; tout autre rayon a, conjugué et per- {)endiculaire à un diamètre dans 7 et à un diamètre dans s , est conjugué et perpendiculaire au plan de ces diamètres, ce qui revient à dire que a est un axe principal de la surface.

Le plan diamétral a, conjugué à a, est un plan de symétrie, car il divise en deux parties égales les cordes qui lui sont perpendiculaires.

L'involution de diamètres conjugués située dans a contient une infinité de couples ou un seul couple de rayons rectangulaires.

Dans le premier cas, le plan ce et tous les plans parallèles à a coupent la surface suivant des cercles. La surface est donc engendrée par la rotation d'une ellipse ou d'une hyperbole autour de Taxe ^; on la nomme, pour ce motif, surface fie rotation.

Dans le second cas, soient b et c les rayons conjugués perpendiculaires : b étint conjugué et perpendiculaire k a et k c; c étant de même conjugué et perpendiculaire à a et à ^, il s'ensuit que b et c sont des axes de la surface. Donc :

L'ellipsoïde et Vhyperboloïde ont en général trois axes.

On est conduit à des conclusions analogues quand la surface est un cône. En effet, une surface conique du second ordre peut être considérée comme cône asymptote d'un hyperbololde, et deux diamètres, conjugués par raj)port à l'hyperboloîde, sont aussi conjugués par rapport au cône. Donc :

Toute surface du second ordre [ellipsoïde, hyperboloïde ou cône) a trois axes perpendiculaires et conjugués entre eux deux a deux y et les trois plans déterminés par ces axes sont des plans de symétrie de la surface.

Quand la surface est de rotation, elle a une infinité d'axes principaux.

ESPACES COLLINéAlRES ET RÉCIPROQUES. 287