I. — Espaces collinéaires et réciproques

291. Deux espaces, S et Si, sont dits collinéaires lorsqu'à tout point P de S correspond un point P| de £«, et à toute droite ou à tout plan de ILj passant par P, respectivement une droite ou un plan de £f , passant par Pf .

Deux espaces, Z et S|, sont dits réciproques lorsqu'à tout point P de S correspond un plan tt^ de Z|, et à toute droite ou à tout plan de S, passant par P, respectivement une droite ou un point de Zf situés sur TTf .

Deux espaces collinéaires ou réciproques à un troisième sont collinéaires entre eux (226).

292. Quand deux espaces sont collinéaires, à tout système plan du premier correspond, dans le second, un système plan coUinéaire, à toute gerbe une gerbe collinéaire, à toute ponctuelle une ponctuelle projective, etc.

Quand deux espaces sont réciproques, à tout système plan de Tun correspond, dans l'autre, une gerbe réciproque, à toute ponctuelle un faisceau projectif de plans, etc.

Si les espaces IL et S| sont collinéaires, au plan à l'infîni de S

•Jl38 GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE XVIII.

correspond, en général, un plan propre de S|, et, pareillement, au plan à rinfini de Ei, un plan propre de S. Il suit de là que ;

Quand deux espaces sont collinéaires, aux droites parallèles et aux plans parallèles de l'un correspondent j'espectwement, dans Vautre, des droites et des plans qui se coupent sur le plan correspondant au plan impropre du premier, et vice versa.

Deux espaces étant réciproques, au plan à l'infini, considéré comme élément de Tun, correspond, en général, un point propre dans l'autre. Par suite :

Quand deux espaces sont réciproques, aux droites parallèles et aux plans parallèles de l'un correspondent respectivement, dans l'autre, des droites d'un plan passant par le point qui correspond au plan impropre du premier et des points d'une droite passant par le même point,

A quatre éléments harmoniques d'un espace, considéré en général, correspondent toujours quatre éléments harmoniques de l'espace collinéaire ou réciproque. Dès lors, et d'après les relations quf viennent d'être établies, deux espaces collinéaires ou réciproques sont aussi projectifs. Il s'ensuit que :

Si, dans deux espaces collinéaires ou réciproques^ trois e'/ements d'une forme fondamentale simple (43) om encore quatre éléments de même genre d' une forme Jondam^entale de la seconde espèce {^iH) sont unis, tous les éléments de la forme fondamentale considérée sont unis.

Dans le second cas, toutefois, on doit supposer que trois des quatre éléments donnés n'appartiennent pas à une même forme fondamentale simple.

293. Pour rapporter réciproquement entre eux deux espaces, S et 2, , on prend dans 2 deux gerbes A, B, et on les rapporte réciproquement aux systèmes plans ««, (3|, situés dans £|, de telle sorte que la droite AB ait pour correspondante la droite d'intersection ai(3i, et qu'à tout plan commun aux gerbes, passant par AB, corresponde un point commun aux systèmes plans, situé sur «1 j3|. Dans ces conditions, à tout point P de S correspondra

ESPACES COLLINÉAIRES ET nÊCIPROQUES. 289

tin plan tti dans £«, et à tout rayon /, passant par P, un rayon l^y situé sur tti.

En effet, aux rayons AP et BP, situés avec AB dans un même plan^ correspondent, dans a^ et |3,, deux rayons qui ont un même point commun avec ai|3|; et qui déterminent, par suite, un plan ir< correspondant au point P. Pareillement, au rayon / de S, qui est projeté de A et de B au moyen des deux plans A/, B/, correspond un rayon /, qui est coupé, par «< et par j3|, aux deux points correspondants a^/f etj3|/|.

Si l'on donne dans l'espace S un système plan quelconque e, au moyen duquel les gerbes A et B sont rapportées projecllvemenl entre elles, de façon à avoir le faisceau de plans AB uni, les systèmes plans «1 et j3, de S, sont en même temps rapportés collinéairement entre eux, de façon à avoir la ponctuelle «i/Si unie. Conséquemment, ai et Pi sont perspectifs (244), et ils engendrent une gerbe qui est en correspondance réciproque avec le système plan e. Au plan e de S, qui passe par une droite / ou par un point P, correspond donc un point E|, qui est situé sur la droite corl'espondante /< ou sur le plan correspondant tti. Donc :

Deux espaces, Y* etYt^, peuvent être rapportés Vun à Vautre, de telle sorte qiCà deux gerbes ÀetB deY correspondent, dans S| , Jeux systèmes plans a< et^^ réciproques à ces gerbes.

Il sufBt pour cela que la réciprocité entre A et «< et entre B et 3| soit établie, de telle sorte qu*à tout plan commun aux points A et B corresponde un point commun aux plans «i et (3|. Nous pouvons donc conclure que :

Deux espaces ^ Y» et 2| , sont rapportés réciproquement entre eux lorsqu'à cinq points A, B, C, D, E du premier [dont quatre quelconques ne sont pas dans un même plan) on attribue comme correspondants, dans le second, cinq plans ai,j3i,y,, J,, e^ (dont juatre quelconques ne passent pas par un même point),

La gerbe A ne peut être rapportée réciproquement au système plan «1 que d'une seule manière et de telle sorte qu'aux rayons \B, AC, AD, AE correspondent réciproquement les rayons «iPi, *4 7o ^^^^9 ûfiCi (231). De même, il n'existe, entre la gerbe B et le système plan j3|, d'autre relation réciproque que celle qu'on

u4o GÉOMÉTRIE DB POSITION. — CHAPITRE XVIII.

obtient en faisant correspondre les quatre couples de rayons BA ctfi^a^, BC et (3i7i, BD etPi^i, BEet|3|S|.Et, puisqu'à trois plans communs ABC, ABD, ABE des gerbes A et B correspondent respectivement les trois points communs aijSjyi, ai|3|$i, a\^it\ des systèmes plans a^ et ^i, à tout plan du faisceau AB correspondra un point unique de la ponctuelle ai^i. La proposition se trouve ainsi ramenée à celle qui précède.

294. On a de même la proposition suivante, relative aux espaces coUinéaires :

Pour rapporter collinéairement deux espaces, Z e£ E|, il suffit d'assigner comme correspondants :

A cinq points quelconques de l'un y dont quatre ne doivent jamais être situés dans un même plan, cinq points de l'autre y assujettis à la même condition.

A cinq plans quelconques de Vun, dont quatre ne doivent jamais passer par un même point, cinq plans de l'autre, assujettis à la même condi' tion.

Tout élément de^ a dès lors son correspondant dans S,.

On peut établir cette proposition directement, comme on l'a fait pour les espaces réciproques ; mais on la démontre plus simplement en observant que deux espaces réciproques à un troisième sont coUinéaires (226, 291), et en ramenant ainsi le cas de coUinéation à celui de réciprocité.

On peut, en effet, rapporter les deux espaces proposés à un troisième, en faisant correspondre à cinq plans quelconques de celui-ci, respectivement, cinq points donnés dans chacun des deux premiers. La relation de coUinéation est ainsi établie entre les espaces proposés.

On pourrait prendre, au lieu de cinq points dans chacun des es- ])aces, cinq plans, dont quatre ne passent jamais par un mcnie point. Il suit de là que :

Si deux espaces coUinéaires ont cinq points unis, dont quatre ne soient jamais situés dans un même plan, ou cinq plans unis, dont quatre ne passent jamais par un même point, ces espaces ont tous leurs éléments unis et sont identiques.

COaEBSPONDANCE DES FORMES DANS LES ESPACES COLLINÉAIRES, ETC. 24 1

n. — Correspondance des formes dans les espaces collinéaires

ou réciproques.

295. Il est intéressant d'étudier les relations qui existent entre les formes de l'espace qui se correspondent dans les espaces collinéaires ou réciproques. Mais, avant d'aborder ce sujet, nous devons exposer quelques notions relatives aux courbes gauches, qu'on désigne aussi sous le nom de courbes à double courbure,

P et Q étant deux points d'une courbe gauche, si l'un d'eux, Q, se meut sur la courbe, la droite PQ décrit une surface conique qui a pour centre P et qui projette la courbe de ce point. Si le point Q va s'approchant du point fixe P, PQ s'approche d'une droite fixe/;, avec laquelle elle finit par coïncider lorsque Q coïncide avec P. Cette droite p est la tangente à la courbe au point P, et l'on dit de tout plan passant par p qu'il touche la courbe au point P. Un tel plan, passant par un point quelconque R de la courbe, décrira un faisceau de plans p projetant la courbe, lorsque le point R parcourra celle-ci. Si le point R va s'approchant du point P, le plan p^ ira s'approchant d'un plan fixe tt, avec lequel il finira par coïncider lorsque R coïncidera avec P. Ce plan t. prend le nom de plan osculateur de la courbe au point P. On peut donc considérer toute tangente comme la droite de jonction de deux points de la courbe séparés l'un de l'autre par une distance infiniment petite, et tout plan osculateur comme le plan de jonction de trois points de la courbe assujettis à la même condition.

Toutes les tangentes à une courbe gauche forment dans l'espace un faisceau de rayons enveloppant la courbe, et tous les plans osculateurs un faisceau de plans osculant la même courbe.

296. Soient maintenant /r et h^ deux courbes gauches qui se correspondent dans des espaces collinéaires. A toute droite qui joint deux points de la courbe A', et à tout plan qui joint trois points de la même courbe, correspondent la droite et le plan qui joignent respectivement les deux points et les trois points correspondants de la courbe h\, A la tangente et au plan osculateur en un point quelconque de A', correspondent donc aussi respeclivc-

ment la tangente et le plan osculateur au point homologue de A|.

Si un point P décrit la courbe k, pendant que la tangente/? décrit le faisceau de rayons enveloppant A' et que le plan osculateur TT décrit le faisceau de plans osculant la courbe, le point P^ parcourt dans le même temps la courbe k^, la tangente correspondante /^i décrit le faisceau de rayons enveloppant A',, et le plan osculateur correspondant ^:^ décrit le faisceau de plans osculant A I .

On doit observer, enfin, qu'à tout plan coupant la courbe /' en n points correspond un plan qui coupe la courbe k^ aux n points correspondants, et que si n tangentes à A", ou n plans osculateurs de A, passent par un point, n tangentes ou n plans osculateurs de /« passent respectivement par le point correspondant.

Aux points à Tinfini de A^ correspondent d'ailleurs, en général, des points propres de Ati, car c'est seulement dans des cas particuliers que le plan à l'infini de l'un des espaces correspond au plan à l'infini de l'autre.

Si la courbe A* se meut suivant une loi donnée et décrit une surface 4>, k^ décrit en même temps une surface 4>| qui correspond à la première.

Ces surfaces sont coupées par deux plans sécants correspondants quelconques suivant deux courbes collinéaires ; et si 4> est touchée ou coupée par une droite quelconque en un nombre quelconque de points, 4>| est touchée ou coupée en autant de points par la droite correspondante. A tout plan langent à correspond aussi un plan tangent à 4>^, etc.

Toutefois, les surfaces collinéaires peuvent présenter des différences essentielles, eu égard à leurs points à l'infini. Ainsi, Tune des surfaces peut être coupée par le plan à l'infini suivant une courbe, tandis que l'autre est touchée par le plan à l'infini en un point, ou même n'est pas rencontrée par ce plan. Les espaces collinéaires dont les plans à l'infini se correspondent constituent en effet un cas particulier, que nous étudierons plus loiu (301).

297. Si deux espaces sont réciproques, à une courbe gauche A de l'un correspond dans l'autre une courbe gauche Ati ; à tout point P de A' correspond un plan osculateur tt, de A i ; à toute tangente

ESPACES PERSPECTIFS. 243

qui joint deux points de h infiniment voisins, et à tout plan osculateur qui joint trois points de h infiniment voisins, correspondent respectivement une tangente à Ai, suivant laquelle se coupent deux plans osculateurs de la même courbe, infiniment voisins Tun de l'autre, et un point de A|, où se coupent trois plans osculateurs dans la même condition. A tout plan qui contient n points d'une courbe ou n tangentes à cette courbe correspond un point par où passent respectivement n plans osculateurs ou n tangentes à la courbe correspondante .

m. — Espaces réciproques par rapport à une surface donnée.

298. Une surface du second ordre étant donnée, à tout point A de l'espace correspond son plan polaire a ; à toute droite passant par le point A, sa polaire située dans le plan a ; et à tout plan passant par A, son pôle situé dans le même plan a. Les pôles et les plans polaires relatifs à la surface donnée constituent donc deux espaces réciproques (277).