IV. — Espaces perspectifs

299. Quand deux espaces collinéaires ont un système plan uni, S, ils ont aussi une gerbe unie S, et vice versa.

En effet, deux systèmes plans, a etai, qui se correspondent dans les deux espaces collinéaires (292), sont eux-mêmes collinéaires. Ils se coupent donc suivant une droite contenue dans S, et ont comme éléments unis tous les points de cette droite d'intersection ; car tout élément de S coïncide avec son correspondant. Les deux systèmes plans a et ai sont, par conséquent, perspectifs (244) et sections d'une même gerbe S. Puisque, d'ailleurs, tout élément de S, rayon ou plan, contient en même temps un élément de S, qui se correspond à lui-même, et deux éléments correspondants de a et de «i, il est clair que tout élément de S doit se correspondre à lui-même, et que les deux espaces considérés ont la gerbe S unie.

Deux points correspondants quelconques des deux espaces sont situés sur une même droite passant par le point S ; deux droites

homologues sont avec S dans un même plan et se coupent^ en outre, en un point de S.

Dans deux espaces collinéaires qui ont une gerbe S unie, deux gerbes homologues , A et A| , sont perspectives.

En effet, le rayon AA|, qui passe par S, et tous les plans du faisceau AA|, sont des éléments unis des deux gerbes collinéaires: ces gerbes sont donc des projections du système plan Z. Tout élément de S, correspondant à lui-même, est coupé suivant un élément de Z par deux éléments correspondants des gerbes A, A,. Conséquemment , tous les éléments de S coïncident avec leurs correspondants.

Deux espaces collinéaires qui ont comme éléments unis une gerbe S et un sjstème plan 2 sont dits perspectifs.

Le point S, qui est sur une même droite avec deux points homologues et dans un même plan avec deux droites homologues des espaces, est nommé centre de collinéation. Le plan 2, sur lequel se coupent deux riayons ou deux plans homologues est le plan de collinéation des espaces.

300. Pour construire deux espaces perspectifs, il suffît de prendre arbitrairement le plan 'L et le centre S de collinéation, et d'assigner, comme correspondant l'un à l'autre, deux points, A ef A| , situés sur un même rayon de S et en dehors de 2.

Soient B, C, D trois points de 2, tels qu'aucune de leurs trois droites de jonction ne coupe la droite SAA| ; les espaces peuvent alors être rapportés collinéairement entre eux (294) de telle sorte qu'aux cinq points A, B, C, D, S de l'un correspondent respectivement les cinq points A,, B, C, D, S de l'autre. Les rayons SAA,, SB, se, SD, et, par conséquent, tous les éléments de la gerbe S correspondent à eux-mêmes. Le plan BCD ou 2 correspond pareillement à lui-môme, et il en est ainsi de tout élément de ce plan ; car (242), outre les points B, G, D, un quatrième point de 2*, situé sur SAA,, correspond à lui-même.

On peut très-facilement, dans les espaces perspectifs, construire la forme qui correspond à une fol*me donnée, en appliquant la

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méthode précédemment indiquée pour les systèmes perspectifs situés dans un plan (248).

Le plan de collinéation peut se trouver à Tinfini, et, dans ce cas particulier, deux droites ou deux plans homologues sont parallèles. On dit alors que les systèmes perspectifs sont semblables. Ces systèmes semblables sont rendus familiers par Tétude de la Stéréométrie. Nous ajouterons seulement qu'ils sont placés en position perspective quand les droites de jonction de deux points homologues quelconques se coupent en un point déterminé, qui est le centre de collinéation, et quand les rayons ou les plans homologues sont parallèles entre eux.

a46 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AU CHAPITRE XVIII.

APPENDICE AU CHAPITRE XVni.

neUBES SOLIDES ALLIÉES, SEMBLABLES, COmBUEHTES

ET STHÉTBiaUES (<}.