ESPACES ALLIÉS

Soient P, Q deux parallélépipèdes quelconques dans 2, et Pi, Qi les parallélépipèdes respectivement correspondants dans 2|. Soit, dans 2, un troisième parallélépipède R, compris entre deux faces parallèles de P et entre deux faces parallèles de Q, et soit Ri le parallélépipède correspondant à R dans 3i. Les parallélépipèdes P et R, compris entre deux mêmes plans parallèles, ont des hauteurs égales et sont entre eux comme leurs bases. Il en est de même des parallélépipèdes Pi et Rj. Mais les bases de P et de R sont entre elles comme ceUes de Pi et de Rj, puisque ces bases sont contenues «ians les systèmes plans alliés (253» 301]. Donc

P • R — Pi I Ri .

On a, pour la même raison.

d'où

R:Q=:Ri :Qi,

P:Q = Pi :Qi.

Fiç. 73.

Cette dernière proportion démontre le théorème pour le cas des parallélépipèdes correspondants.

Par tout sommet A [fig, 78) d'un parallélépipède passent trois arêtes qui unissent ce sommet à trois autres, B, C, D. Le plan diagonal BCD sépare du parallélépipède un tétraèdre ABCD qui en est la sixième partie.

Détachons deux de ces tétraèdres, l'un de P, l'autre de Q; nous pouvons les considérer comme pris d'une manière quelconque dans le système 2, puisque P et Q ont été choisis arbitrairement. Les tétraèdres correspondants dans 2i sont des portions de Pi et de Qi situées de la même manière ; et puisque

nous ayons démontré que deux tétraèdres quelconques flu système 2 sont entre eux comme les deux tétraèdres correspondants de^^.

Le théorème s'étend aux solides limités d'une manière quelconque par des plans, car ces solides peuvent toujours être décomposés en tétraèdres.

Il s'étend aussi aux solides limités par des surfaces courbes, puisqu'il est vrai pour tous les solides à faces planes qu'on peut inscrire ou circonscrire aux premiers.

Quand le rapport de deux solides correspondants est égal à l'unité, les espaces alliés sont dits éqtitpalents. Deux systèmes plans correspondants.

dans deux systèmes solides équivalents, ne sont pas, en général, équivalents, mais seulement alliés*

m. — Surfaces alliées.

304. Quand deux surfaces sont alliées, à tout point à l'infini de Tune doit correspondre un point à Tinfini de l'autre. U suit de là que les deux surfaces n'ont aucun point commun avec le plan à l'infini, ou que chacune d'elles est touchée en un point par ce plan, ou enfin que chacune d'elles est coupée par le plan à Tinfini suivant une courbe h l'infini.

On sait d'ailleurs (296) qu'une surface rectiligne ne peut être rapportée collinéairement qu'à une surface rectiligne.

Il résulte de ces deux conditions qu'on ne peut allier entre elles que des sur/aces du second ordre de la même espèce : par exemple, deux ellipsoïdes, deux hyperboloîdes à une nappe, deux paraboloides elliptiques, et ainsi de suite.

A toute série de cordes parallèles d'une surface correspond une série de cordes parallèles dans la surface alliée ; au point milieu d'une corde correspond le poiut milieu de la corde correspondante. On a donc ce théorème :

Dans deux surfaces alliées du second ordre, tout plan diamétral a pour correspondant un plan diamétral, tout couple de diamètres conjugués un couple de diamètres conjugués. ♦

305. Pour allier deux paraboloides elliptiques, ou deux paraboloides hyperboliques, n et IIi, on prend sur chacun d'eux une courbe du second ordre qui ne passe pas par le point à V infini du paraboloïde dans lequel elle est contenue et qui, par conséquent, ne soit pas une parabole; on allie les deux courbes entre elles, et cette condition suffit pour qu'à chaque point de n corresponde un point deU.^,

Soient A, B, C trois points de l'une des courbes, A-, et D le pôle de son plan par rapport à la surface II; soient, en outre, Ai, B}, Ci les points correspondants de l'autre courbe, Aj, et Dj le pôle de son plan par rapport à lli. Les espaces dans lesquels se trouvent les paraboloides sont alors allies, de telle sorte qu'aux sommets du tétraèdre ABCD correspondent respectivement les sommets du tétraèdre A|BiCiDi*

Mais les systèmes plans ABC, AiBiCi sont eux-mêmes alliés; dès lors, la courbe k a pour correspondante la courbe Aj, et les cônes tangents aux surfaces n et IIi, au moyen desquels les courbes A* et A| sont respectivement projetées de D et de D^, se correspondent entre eux. Les diamètres

scmriGEs ALUÉES. 249

detdi des snrfiKes n et Oi, qui joignent respectÎTement les points D et D| aux centres de it et de it|, se correspondent aossi. Enfin, à toute paralM^ située sur n, coupée par k en deux points K, L et contenue dams un plan passant par d^ correspond, dans le sec<Mid espace, une parabole coupée par ^1 aux points Ki, L| et contenue dans un plan passant par </,. Cette seconde parabole se trouTe précisément sur la surface n,, car elle a en commun, avec une courbe plane de cette surface, sa tangente à Tinfini, plus les points K| et L,, plus encore les tangentes Di R| et Di Lf qui correspondent aux tangentes DK. et DL de la première parabole. Or, tout point de n se trouve sur une parabole disposée comme il vient d^ètre dit et a, par conséquoit, pour correspondant un point de rii. Les surfaces n et IIi se correspondent donc entre elles.

306. Si les paraboloîdes n et rii sont elliptiques, les segments détachés par les plans des ellipses k eik^ sont entre eux comme les cônes 'Dk^ D|it|. Mais les ellipses k et k^ sont prises arbitrairement sur les deux snriiKes. Donc : v* i •

Tomi segment d'un paraholoîde elliptique est en rapport constamt aeec le e '.me circonscrit au paraholoîde , swpant la hase du segment.

Pour déterminer ce rapport constant, on peut choisir le cas très-simple où le paraboloîde est engendré par la rotation d*une parabole AOB \^fig. 74 ) autour de l'axe OF, la base AB du segment étant perpendiculaire à l'axe et passant par le foyer F de la parabole. Le sommet D du cône circonscrit est alors un point de b directrice de la parabole et l'angle ADB est droit. On prend les s^ments OP, OPi, ^ux et opposés; on mène PMQ, Pi Qi et OC perpendiculaires à DF, et Ion a

MP*=MF* — PF\ Hais

MF = DP = DO H- OP, PF = OF — OP; donc

MP' = dp' — Pf'= (DP -h PF) (DP — PF) =::DF.20P = 4DO.OP.

On a ensuite

PQ = DP=i DO -^ OP. P,Q, = DP, = DO — OP,

d'où ^ __^

PQ*PjQ/ =MP*.

25o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AU CHAPITRE XVIII.

On voit par là que, si la figure DAF tourne autour de DF, le cercle décrit par MP est égal à la différence des cercles décrits par PQ, PiQf. Ainsi, le solide engendré par la portion de parabole OAF est égal à la différence des solides engendrés par le trapèze OCAF et par le triangle DCO, c'est-àdire égal à la différence entre le solide engendré par le triangle DAF et le double du solide engendré par le triangle DCO. Le premier de ces deux solides est égal à huit fois le second, car sa hauteur est double, et l'nire de sa base quadruple; donc le segment parabolique engendré par la figure OAF est I — 2 . j = I du cône engendré par le triangle DAF. Donc :

Le volume d'un segment de paraboloïde elliptique est égal aux trois quarts du volume du cône circonscrit au paraboloïde suivant la base du segment,

307. Pour allier deux ellipsoïdes 6, 6|, // suffit d'allier entre elles les ellipses k, Aj suivant lesquelles ils sont respectivement coupés par deux plans diamétraux pris arbitrairement, et d'assigner, en outre, comme correspondants, le point D, ou la surface est touchée par un plan parallèle au plan de A, et le point Dj, oii la surface Oj est touchée par un plan parallèle au plan de k^.

Cela revient à allier les deux espaces ou systèmes solides dans lesquels se trouvent les ellipsoïdes donnés, de telle manière qu'à l'ellipse k corresr ponde l'ellipse k^ et au |>ointD le point Dp

Les centres M, Mi des ellipses k et k^, qui sont aussi les centres des ellipsoïdes B et Bj, se correspondent alors; et l'ellipse qui résulte de la section de B par un plan du faisceau MD et qui coupe k en K et L, a pour correspondante, dans le second système, une ellipse qui coupe Ai aux ]X)intsKi, Lj, et qui est située dans un plan passant par MiD^. Cette seconde ellipse est sur Tellipsoïde Bj, car elle a en commun, avec une section plane de cet ellipsoïde, les points Di, Ki, Li et les tangentes en K| et en Lj. Ces tangentes, en effet, sont parallèles au diamètre MiDj, parce que les tangentes correspondantes en K et L sont parallèles à IVfD, et parce que les diamètres M^ Di et MD sont respectivement conjugués aux plans diamétraux A| et A-.

Pour alliai* les ellipses A: et Ar^, il sufHt de prendre comme correspondants deux diamètres conjugués de Tune et deux diamètres conjugués de l'autre; conséquemment :

Pour allier deux ellipsoïdes, il suffit d'assigner comme corfespondmnts deux ternes de diamètres conjugués.