SYSTEMES PLANS RECIPROQUES EN INVOLUTION

Parmi les divers cas énumérés dans la proposition, le premier et le dernier présentent seuls un véritable caractère de généralité. Il arrive, en effet, presque toujours, ou bien que la surface du second ordre et le plan des systèmes n'ont aucun point commun, ou bien qu'ils ont une courbe du second ordre commune. Lorsque le plan contient deux droites, ou une seule droite, ou un seul point de la surface, il est tangent à celle-ci et se trouve dès lors dans une position tout à fait particulière. Nous vérifierons (315) que ces cas d'exception ne se présentent jamais dans les systèmes réciproques en involution.

n. — Systèmes plans réciprcqaes superposés en involution.

314. Deuji systèmes plans réciproques superposés sont dits en ini^olution lorsqu'à chaque point du plan correspondent deux droites qui coïncident, c est-à-dire lorsqu'une même droite correspond doublement à chaque point,

La possibilité d'une telle relation résulte de la proposition suivante :

Deux systèmes plans réciproques, 2 e^ 2| , sont en involution quand aux sommets A, B, G [fi g* 75) d'un triangle de 2 correspondent les côtés opposés ai, i|, C|, du même triangle danslL^.

Il résulte immédiatement de cette ^^»c- 7^-

condition que les sommets du triangle correspondent doublement aux côtés opposés. Désignons, en effet, par A| le point d'intersection de b\ et de c^ dans £| . A ce point, qui coïncide avec A de 21, correspond dans 2 (225) le côté a, qui joint les sommets B et G

du triangle, et qui coïncide avec la droite a^ de 2| ; aux points B| et G, de 2|, qui sont les intersections des couples de côtés c,, a^ et «1, i|, et qui coïncident respectivement avec les points B et G de 2, correspondent pareillement, dans 2, les côtés opposés, h et c, qui joignent les couples de sommets G, A et A, B, et qui coïncident respectivement avec les côtés b^ et C| de 2|.

Au faisceau de rayons AA| correspond donc doublement la ponctuelle ai a, et au rayon bb^ du faisceau correspond doublement le point B| B de la ponctuelle. Le faisceau et la ponctuelle sont par conséquent en învolution (188).

A un rayon quelconque du faisceau AA| correspond doublement un point de la ponctuelle a^ a, et pareillement, à tout rayon des faisceaux BB| et CC{, correspond doublement un point des ponctuelles respectives i| b et C| c.

Considérons maintenant, dans le plan, un rayon quelconque/;! ou p. Ce rayon coupe les côtés du triangle en trois points auxquels correspondent doublement trois rayons des faisceaux AA|, BB, et CC|. Au rayon pip doit donc correspondre doublement le point PP, , où concourent ces trois rayons ; en d'autres termes, les systèmes réciproques sont en involution.