V. — Système polaire dans la gerbe. Trièdre polaire
320. Si l'on projette un système plan polaire S d'un point S quelconque, situé hors de 2, on obtient un système polaire dans la fferbe. A tout rayon de la gerbe S est coordonné un plan de celleci, et 'vice versa. Si le système plan a une directrice, cette courbe est projetée au moyen d'une surface conique du second ordre qui prend le nom de directrice du système polaire dans la gerbe.
Deux rayons de la gerbe sont conjugués, dans ce système, lorsque chacun d'eux est situé dans le plan qui correspond à l'autre. Deux plans sont conjugués lorsque chacun d'eux contient le rayon qui correspond ù l'autre.
Un trièdre appartenant à un système polaire dans la gerbe est dit trièdre polaire lorsque chacune de ses arêtes correspond à la face opposée.
?I. — Relations entre les formes simples qni se correspondent dans les formes fondamentales de la seconde espèce en involution.
321. Deux formes fondamentales simples quelconques , qui se correspondent dans deux j ormes fondamentales de la seconde espèce en involution, sont elles-mêmes en involution.
Nous nous bornerons à étudier le cas du système plan polaire, auquel tous les autres cas peuvent être facilement ramenés.
GGOMCTBIE DC rO$fT10X. ~ CHAPmE XIX.
Stjiont Z et Z, les svstèmes plans qui constituent un sj»tèmf polaire, el <oil A /î^. ^j ; un point quelconque de Z, noo situé >ur sa polairt* a^. Si D est un point quelconque de ai, (/« si polaire passant |>ar A, le point D,, intersection de a, et de di, sera lo pôle de la droite .\D, que nous désignerons par J*. Tous les points D forment sur ai une ponctuelle Uy projectiveaa faisceau de ra\on> S, composé de toutes les droites d^ (228); b ponctuelle u sera donc aussi projective à la ponctuelle Ui résollant de Tintersection de S, avec a|, c'est-à-dire formée de tous les points D,.
Le point D. considéré comme élément, soit de u, soit dett|, avant pour correspondant le point D|, u et ii| sont en involulion, et il en est de même, par conséquent, de la ponctuelle u et du faisceau S|.
Les couples de points D, D, de la droite a^ et les couples de droites r/, . d\ du faisceau A étant respectivement conjugués^ el. d*aulre part, les systèmes polaires dans les gerbes donnant iieu à des relations analogues, nous pouvons énoncer la double proposition suivante :
Dfins tout système polaire ptan, les couples de points conjugués si" tues sur une même droite forment une ponctuelle en ini'olution, et les roupies (le droites conjuguées passant par un même point forment un faisceau de raj'ons en involution.
Dans tout système polaire de la gerbe, les couples de plans conja^m passant par une même droite forment un faisceau de plans en itmj lution, et les couples de rayons conjugués situés dans un même pion forment un faisceau de rayons en im-olution.
VU. — Recherches analogues pour les espaces réciproques.
322. Soient Z el !L| deux espaces réciproques, a un plan quelconque de £, ne passant pas par le point A| qui lui correspond dans 2|. Au système plan a de Z correspond alors une gerbe A i de 2|, réciproque à a. Cette gerbe est coupée, par le plan a, suivant un second système pian a^ qui est aussi réciproque au premier système contenu dans a. Tout point de a, situé sur la droite qui lui correspond dans a^ est aussi sur le plan qui lui correspond dans
