RECHERCHES ANALOGUES POUR LES ESPACES RÉCIPROQUES

la gerbe A|. On sait (313) que des points de cette sorte existent généralement dans ay et forment une courbe du second ordre qui peut, dans certains cas, se trouver réduite à deux droites, à une droite ou à un seul point.

Soit, d'autre part, ^ un plan de S passant par le point B, qui lui correspond dans 2, . Considérons ce même plan comme appartenant à Si et désignons-le par y, ; il a pour correspondant dans S lin point C qui doit se trouver sur jS, puisque yi passe par Bf . Au faisceau de rayons G, situé sur le plan j3 de E, correspond, sur e plan y^ de S i, un faisceau de rayons qui est projectifàC et jui a pour centre le point B|. Les faisceaux de rayons G et B, engendrent donc une courbe du second ordre, qui peut, en certains i^as, se réduire à deux droites. Les points de celte courbe sont respectivement situés sur les plans de l'espace réciproque qui leur correspondent. Soit, en effet, P le point où un rayon quelconque p du faisceau G est coupé par le rayon correspondant pt du plan yi ; à ce point P du rayon p correspond, dans le système Z{ , un plan tti qui contient le rayon p^ et qui passe dès lors par le point P.

On a ainsi démontré que le lieu géométrique des points considérés et un plan quelconque, « ou (3, contenant une partie de ces points, ont en commun une courbe du second ordre, ou deux droites, ou une droite, ou un seul point; c'est là une propriété caractéristique de la surface du second ordre. Gonséquemment :

T'eus les points de l'espace situés sur les plans qui leur corres^ pondent dans deux espaces réciproques appartiennent à une surface du second ordre.

On vérifierait d'une manière analogue que :

Tous les plans passant par les points qui leur correspondent dans deux espaces réciproques forment une gerbe de plans du second ordre.

La gerbe de plans du second ordre correspond, dans chacun des espaces réciproques, à la surface du second ordre considérée dans la première partie de la proposition.

Il est d'ailleurs possible ç\vCaucun point de l'espace ne soit situé sur les plans qui lui correspondent.

•Ji(jà GÉOMÉTniE DE POSITION. — CHAPITRE XIX.