X. — Systèmes focaux

327. Quand tout point P d'un espace S est sur le plan tTi (jui lui correspond dfins l'espace réciproque Styles espaces S e/ £« sont en involution.

Remarquons d'abord qu^aucune droite g du premier espace ne peut être coupée par la droite gi qui lui correspond dans le second, car, s'il en était autrement, la ponctuelle g n'aurait que deux de ses points sur les plans correspondants du faisceau gt, savoir : le point d'intersection ggt et le point correspondant au plan ggt de Z|.

Cela posé, si à un point quelconque P de 2 correspond un plan TTi de S| passant par P, tout rayon g- de P situé dans ce plan doit coïncider avec le rayon correspondant g^de ^:^ ; car les deux rayons doivent, tout ensemble, être situés dans le plan tTi et ne pas se couper. Il s'ensuit que le plan r|, considéré comme plan de jonction des rayons g et gi dans Z, doit correspondre au point P, considéré comme point d'intersection des mêmes rayons dans Z|.

Puisque à tout point P correspond doublement un plan :r|, les espaces réciproques sont en involution et peuvent être considérés comme un système unique. Nous donnerons le nom de système focal ( * ) à ce système, dans lequel correspondent respectivement: à tout point un plan polaire, à toute droite une droite polaire, ù tout plan un point comme pôle.

Dans le système focal, tout plan passe par son pôle ; tout système plan et la gerbe qui lui est coordonnée ont un faisceau de rayons uni ; toute droite et sa polaire coïncident quand elles sont

(*) Otte dénomination de système focal, équivalente au Nulbjrstem de MObics, est déduite des travaux de MM. ('.haeles et Mati^deim sur l'étude géométrique du mouve- Mjcnt des systèmes invariables : \c fojer du plan {NuUpunkt der Ebene) est le point uii concourent tous les axes de moment nul contenus dans le plan, et \e plan focal {AtiUebene) est le lieu géométrique de ces axes.

SYSTÈMES FOCAUX. 265

situées dans un même plan ; enfin , toute ponctuelle est perspective au faisceau de plans qui lui. est coordonné si elle n'a aucun point commun avec Taxe de ce faisceau.

328. Si le point P se meut dans un plan donné a, son plan polaire TTi passe constamment par un point fixe A, qui est le pôle de a, et, "vice versa y le lieu des pôles de tous les plans qui passent par un point A est un plan ol, polaire de A.

Si le pôle P parcourt une droite, le plan polaire tTj tourne autour d'une autre droite. Deux droites liées par cette condition sont dites conjuguées ou réciproques. Chacune d'elles est en même temps le lieu des pôles des plans passant par l'autre et l'axe du faisceau des plans polaires des points de l'autre.

A un faisceau de plans parallèles correspond une ponctuelle de pôles donl le lieu est une droite de direction déterminée ; en d'autres termes, une droite située à distance infinie a pour conjuguée une droite dont le point à l'infini est le pôle du plan à Tinfini. Toutes les droites parallèles qui passent par ce point à Tinfini corres- [)ondent de la sorte à tous les axes à l'infini des faisceaux de plans parallèles.

Nous remarquerons incidemment, en vue des applications ultérieures, que l'une des droites considérées est perpendiculaire au faisceau de plans parallèles correspondant. Quelques auteurs la nomment axe central du système.

On peut, dès lors, donner la forme suivante au résuhat précédemment énoncé :

Toute droite parallèle à l'axe central d'un système focal a sa conjuguée à V infini; tout plan parallèle à l'axe central a son pôle à l'infini,

329. Toute droite coordonnée à elle-même prend le nom de rayon directeur du système focal. Tous les rayons du système focal qui répondent à cette condition, et qui sont situés dans un même plan quelconque tti, forment un faisceau de rayons dont le centre est le pôle de ce plan.

Soient a et a^ deux droites coordonnées quelconques ; la ponctuelle a est perspective au faisceau de plans a^ qui lui est coor-

donnée et, pareillement, la ponctuelle ^i est perspective au faisceau (le plans a. Il s^ensuit que :

Tout rayon coupant deux droites coordonnées a et a^ d'un système focal est un rayon directeur de ce système, et, vice versa, tout rayon du système focal coupant une droite a est dans un même plan avec la polaire a^ de cette droite,

Conséqucmmenl :

Dans tout système focal, deux couples de droites coordonnées sont des rayons appartenant au même système de génératrices d'une surface doublement rectiligne, dont le second système est composé des rayons directeurs du système focal.

DIVERS MODES DE GÉNÉAATIOX DES COXlQrES GAUCHES. aCy