IV. — Systèmes de sécantes du troisième ordre

340. Toute sécante d'une conique gauche est la droite d'intersection de deux plans correspondants des gerbes S et S| qui engendrent la courbe.

L'ensemble des droites ainsi déterminées constitue ce qu'on appelle uxLsjstème de sécantes du troisième ordre, et la courbe prend le nom de directrice du système de sécantes.

Un rayon quelconque du système est désigné spécialement sous le nom de sécante propre, de tangente ou de sécante impropre, selon qu'il coupe la courbe en deux points, ou qu'il la touche en un point, ou qu'il n'a aucun point commun avec elle.

341 . Toute sécante de la courbe étant projetée par deux plans correspondants des gerbes SetSi, il s'ensuit que deux sécantes a et b déterminent deux couples de plans correspondants, et, par suite, les axes de deux faisceaux projectifs de plans qui se correspondent dans les gerbes collinéaires. Ces faisceaux de plans engendrent, soit l'un des systèmes de génératrices d*une surface

274 GBOMBTaiB DE POSITION. — CHAPITftB XX.

doublement rectiligoe, soit une surface conique du second ordre, et la forme engendrée dans Tun ou Tautre cas se compose exclusivement de sécantes de la conique gauche, au nombre desquelles sont les deux sécantes aeib. Il suit de là que :

Par une conique gauche k et par deux sécantes a et b quelconques, on peut toujours faire passer une surjace du second ordre.

Si les sécantes a et b se coupent en un point P de la courbe k^ la surface du second ordre est une surface conique par laquelle la courbe k est projetée du point P.

Si a et b ne sont pas dans le même plan, la surface est doublement rectiligne et celui des sjrstèmes de génératrices auquel a et h appartiennent se compose de sécantes de k ; l'autre système ne contient aucune sécante, mais chacun de ses rajrons a un point commun avec k.

Tout rayon du premier système est dans un plan avec chacun des rayons du second (i44); ce plan et la conique gauche ont généralement, et tout au plus, trois points communs, dont deux seulement peuvent se trouver sur la sécante ou rayon du premier système. Le rayon du second système doit donc contenir le troisième point d'intersection. Mais ce rayon ne peut pas être une sécante, car il est coupé, en dehors de la courbe, par une infinité de sécantes ou de rayons du premier système, et il ne peut j avoir, en dehors de la conique gauche, aucun poidt par lequel passe plus d'une sécante.

Les rayons du second système sont projetés, des sécantes a et&, par deux faisceaux projectifs de plans. £n d'autres termes :

La conique gauche est projetée de deux quelconques de ses sécantes par deux faisceaux projectifs de plans, chaque point de la courbe étant projeté par deux plans correspondants desfais' ceaux.

Cette conclusion s'étend au cas où les sécantes a et & se coupent sur la courbe et sont par conséquent situées, avec ceUe-ci, sur une même surface conique du second ordre.

FAISCEAUX DE PLANS DU TROISIÈME ORDRE. 2,y5

34â. Mener d'un point quelconque K de l'espace une sécante à la conique gauche.

On joint le point K à un point quelconque P de la courbe par une droite g^ et Ton fait passer par cette droite deux plans qui ont chacun deux points quelconques^ autres que P, communs avec la courbe.

Les droites a ci b qui joî^ent ces couples de points sont situées, avec la conique gauche, sur une surface doublement rectiligne. Cette surface contient aussi la droite g, qui a trois points, ga, gb et P, communs avec elle (148). Le système de droites génératrices de la surface auquel appartiennent les droites a et i contient donc un rayon qui coupe au point K la droite g de l'autre système et qui est la sécante demandée.

La construction fournirait le résultat cherché dans le cas même où la sécante serait impropre.

343. Il résulte incidemment de ce qui précède qu'on peut faire passer une surface doublement rectiligne, et une seule, par une conique gauche k et par une droite g qui coupe la courbe en un point P, mais qui n'est pas sécante. Les sécantes à la courbe forment un système de droites génératrices de la surface; la droite g appartient à l'autre système.

344. Les sécantes propres et impropres d'une conique gauche sont donc complètement déterminées par cette courbe, et deux gerbes collinéaires quelconques, engendrant la courbe, doivent engendrer aussi le système de sécantes. Ainsi se trouve démontré le théorème suivant :

Un système de sécantes du troisième ordre est projeté de deux points quelconques de sa directrice par deux gerbes collinéaires; un troisième point quelconque de la directrice est projeté par deux rayons correspondants des gerbes, et chaque rayon du sys-tème est projeté par deux plans correspondants.