V. — Faisceaux de plans du troisième ordre

345. Deux systèmes plans collinéaires, Z etZf, qui ne sont ni perspectifs ni situés dans un même plan, et qui n'ont, comme élé-

a76 GEOMÉTKIB DE POSITION. — CHAPITEB XX.

ment uni, ni leur droite d'intersection, ni Tun quelconque des points de cette droite, engendrent, tout ensemble, un système de rayons essentiellement différent de celui que nous avons considéré jusqu'ici, et un faisceau de plans du troisième ordre. Tout rayon du système joint deux points homologues, et tout plan du faisceau du troisième ordre joint deux droites homologues de S et de Z|. Tout rayon du système est appelé axe du faisceau de plans du troisième ordre.

Un plan quelconque ne contient, en général, qu'un axe du faisceau du troisième ordre. Lorsque le plan appartient au faisceau, et dans ce cas seulement, il contient une infinité d'axes qui forment un faisceau de rayons du second ordre et qui résultent des intersections du plan considéré avec les autres plans du faisceau de troisième ordre.

Tout plan du faisceau du troisième ordre contient un axe par lequel ne passe aucun autre plan du faisceau. Cet axe se nomme rayon de contact du plan, et celui de ses points par lequel ne passe aucun autre axe est appelé point de contact du plan.

Par un point quelconque de l'espace doivent passer au plus trois plans et trois axes, au moins un plan et un axe du faisceau.

Le faisceau de plans du troisième ordre est rencontré par deux quelconques de ses axes, suivront deux ponctuelles projectiles; les deux points de rencontre sur chaque plan sont des points homologues de ces ponctuelles,

346. Par six plans, dont quatre quelconques ne passent pas uar un même point, on ne peut faire passer qu'un seul faisceau de plans du troisième ordre.

347. Trois ponctuelles projectiles, dont les lieux a, ai, a^ ne sont pas dans un même plan, engendrent généralement unfaisceau de plans du troisième ordre dont a, a^ et a^ sont trois axes. On obtient évidemment le même résultat au moyen d'une ponctuelle et d'un système de génératrices d'une surface doublement rectiligne projective à cette ponctuelle.