XIII. — Analogie entre les coniques planes et gauches

360. Ces dernières propositions et quelques-unes de celles qui les précèdent mettent en évidence une certaine analogie entre les coniques que nous appellerons planes et les coniques gauches.

L'analogie parait encore plus complète si l'on considère que toute conique gauche détermine un système focal, de même que toute conique plane peut être prise comme directrice d'un système plan polaire.

Une conique gauche k et le Jaisceau de ses plans osculateurs peuvent être considérés comme deux formes coordonnées d'un système focal dans lequel tout plan osculateur de la courbe est coordonné à son point de contact et toute tangente à elle-même.

Soient, en effet, A, B, C, D, E, F six points quelconques de la conique gauche k et a,|3, y, }, e, f leurs six plans osculateurs respectifs. Nous pouvons rapporter réciproquement entre eux deux espaces, 2 et £| , de telle sorte qu'aux cinq points Â, B, C, D, E de £ correspondent les cinq plans a, p, y, }, e de Z|. La ponctuelle a|3 de £| correspond alors au faisceau de plans AB de £ et est une section de ce faisceau, car les trois points aj3y, a^d, a/3e de a^ sont respectivement situés sur les plans ABC, ABD, ABE du faisceau AB qui leur correspondent. Par le même motif, tout autre point de £| commun à deux des plans a, |3, y, }, e est sur le plan de S qui lui correspond.

Cela posé, on sait que, quand deux espaces £ et S| sont réciproques, ou bien ils forment un système focal, et tout point de £{

•iBA GÉOUbTRIE DE POSITION. — CHAPITRE \X.

Et ainsi de suite.

On pinit cttnstrniro iaciltMut'nt , dans chaque cas, la conique (jaurhr nu le iaiMcau tle plans du troisième ordre oscuLateur à celle conrhe.

Soient tlonnés. par e\eiiipl<*. comme dans le cinquième cas de rénonrr. les deu\ plans ti>eulateurs 7, 7| et les quatre aves a, A, 4.*, d. Les s\>tème< plan< 7 et C| sont rapportés collinéairement entre eu\. et chacun des axes ri, b, e. d contient deux de leurs points liiini(ilo;:ues. Les deux sv>tL'nies collinéaires engendrent alors le faisceau de [dans du troisième ordre et le s\stème d*as.es corrélatif.

On piMirra facilenieiit. en se l'nndant sur ce qui a été exposé, établir le> Cii< particuliers pi)ur lesquels la construction devient impossilde, et les cas de dé^'énérescence analogues à ceux que nous avons rencontrés dans l'étude des formes du second ordre.