I. - Point à rinfini

10. Si un rayon (droite indéfinie) tourne dans un plan autour d'un point fixe S [fig- i), il détermine, pourchacune de sesposi-

Fig. I.

lions, un point sur une droite u située dans le même plan et ne passant pas par S. Si le rayon accomplit sa rotation dans un

( * ) La question des cléments à Tinfini a été récemment discutée avec chaleur dans la Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht do HoffllAN!! (Leipzig, Druck und Verlag von B.-G. Teubner). Voir Erster Jahrgang (1870)» p. 27g, ^^\'l\^'^. Zweiter Jaltrgang(i%'j\\ p. 39i-4<'9f ig^-^oi.Dritter Jahrgang (iS'jl) p. 11-18, i55-i62, 249-267. On voit reparaître sous cette forme l'ancienne question des parallèles, sur laquelle les géomètres d'autrefois ont si longuement débattu.

(*) On trouve, dans l'ouvrage cité, ces lumineuses idées sur l'infini: 1. Unf

8 GEOUEmiE DE POSITION. — CHAPITRE II.

sens cl revient à sa position initiale, il sera passé par tous les points de u, mais une seule fois par chacun d'eux. Quand le rayon mobile est parallèle à la droite Uy on dit qu'il passe par le point à l'infini de cette droite. Une droite n'a qu'un seul point à l'infini, car le rayon mobile n'est parallèle à u que dans une seule de ses positions (*). •

De là résulte immédiatement que deux droites parallèles ont le même point à l'infini. Deux droites dans un plan ont toujours un point commun (à distance finie ou infinie). Toutes les droites parallèles entre elles et situées dans un plan forment un faisceau de rayons dont le centre est à l'infini. Toutes les droites de l'espace parallèles entre elles forment une gerbe dont le centre est aussi à Tinfini.

Pour distinguer le point à l'infini d'une droite des points situés sur cette droite à distance finie, on a coutume d'appeler le premier point impropre et les autres points propres.

droite peut être considérée comme prolongée à l'infini, auquel cas les deux extrémités opposées se joignent entre elles. — 2. Los droites parallèles sont des droites concourantes à l'infini et réciproquement. — 3. Une droite et un cercle sont deux espèces d'un m^mc genre, dont le tracé peut être énoncé dans les mêmes termes. Galilée arait déjà exprimé cette dernière idée (voir en effet les Lettere famigUari del conte Lo- RENzo Macalotti, P. I, Veuciia, MDCCXIX, Lettre XVÏ*, p. aj^). Uneétude faite en vue de mettre en évidence les conceptions philosophico-mathématiques de ce grand savant conduirait très-probablement à recueillir de nouveaux et importants matériaux pour le jugement h porter sur sa méthode. Sur ce point comme sur quelques autres, nous avons malheureusement à regretter que certaines lacunes s'opposent à une plus exacte appréciation du tribut apporté par Galilée aux progrès des Mathématiques proprement dites.

Dbsargues {op. cit.) et Newtoîc {Philosophiœ naturalîs principia mathematicaj 1687) considèrent les asymptotes des hyperboles comme des tangentes dont les poiuts de contact sont à distance infinie. Blumberger (Cr///i^zMo<*r<//<^r Theorieenaus der neuc^ ren Gcometrir, etc. Halle, i8j8, p. 3) affirme que Leibmitz a exprimé la même conception et que Descartes s'y est aussi rangé, mais il ne spécifie pas les sources auxquelles il a puisé.

(*) Ou bien « parce que, dans un plan et par un point, on ne peut mener qu'une seule droite qui ne coupe pas une droite donnée ». Cette distinction fondamentale a été mise en lumière par Gaiss, à la fin de 1791 ; mais elle n'a fait, de sa part, l'objet d'aucune publication spéciale.. On la trouve indiquée dans les Notices bibliographiques de Gauss sur quelques écrits de Schwab, de Metternich et de Mûller {Gottingischc gelehrte Anzeigc^ 1816, p. 617, et i8î2, p. 17, 25) et aussi dans les Lettres de Gacss à ScncHMAKER, t. II, p. q68 et /|3i^ V, p. i!\Q (Sartorius, Gauss zum Gedàchtniss, p. 81). Voir Baltzer, Die Elemente der Mathematihy t. II, dritte Auflage. Leipzig, 1870, p. 16.

DROITE A l'infini. 9

H. On arrive à concevoir, en quelque manière, le point à Tinfîni d'une droite comme la limite des positions d^un point mobile qui la parcourrait, d'un mouvement continu et indéfini, dans Tun ou dans Tautre sens. Le point à Tiniini apparaît alors comme situé de part et d'autre de la droite. Toute droite n'ayant, ainsi qu'on l'a déjà observé, qu'un seul point à l'infini, on doit admettre que toute droite est une ligne fermée, dont les deux parties s'étendent en directions opposées et se rencontrent en un point à l'infini ou point impropre.

Cela posé, il est clair qu'une droite ne peut pas être divisée en deux parties par un seul point et que deux points sont nécessaires pour effectuer cette division. L'un des deux segments contient le point à l'infini et a une étendue infiniment grande, tandis que l'autre a une longueur finie : à moins, toutefois, que l'un des deux points de division ne soit situé à l'infini, auquel cas les deux segments seraient infiniment grands.

Si l'on désigne pari le point à l'infini et par A et Blés deux points qui divisent la droite en deux segments, tous les points du segment AIB sont séparés de ceux du segment AB par les points A et B; c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de passer d'un point de l'un des segments à un point de l'autre sans franchir A ou B. Il résulte de cette observation qu'un seul point A d'une droite ne sépare pas deux autres points quelconques de cette droite, et que si deux points, tels que B et G, sont situés de part et d'autre de A, il n'est pas nécessaire de passer sur A pour aller de B à G ; car on peut, à cet effet, parcourir aussi le chemin infini à travers le point à l'infini.

Sur quatre points A, B, G, D d'une droite, qui se suivent dans l'ordre même où ils viennent d'être nommés, deux couples seulement sont séparés l'un de l'autre, savoir : AG par BD, et réciproquement BD par AG; les points qui se suivent immédiatement, comme A et B, ou A et D, ne sont pas séparés.

Les mêmes considérations s'appliquent à quatre rayons rt, i,c, d d'un faisceau de rayons S et à quatre plans a, |3, y, Jd'un faisceau de plans u.