FORMES DE LA MÊME ESPECE OU D*ESPÉCES DIFFÉRENTES, ETC

couples de plans parallèles, et ces quatre plans s'entrceoupant, en outre, suivant quatre droites parallèles, qui concourent en un même point à Tinfini, commun aux deux droites en question, on voit que toutes les droites à l'infini peuvent être censées se couper deux à deux; dès lors toutes ces droites, et par conséquent tous les points à l'infini de l'espace, peuvent être considérés comme appartenant à un même plan, qui est le plan à l'infini (').

IV. -— Formes de la même espèce on d'espèces différentes rapportées

entre elles.

14. On dit que deux formes fondamentales sont rapportées entre elles lorsqu'à chaque élément de l'une correspond, en vertu d'une certaine loi, un élément de l'autre. Deux formes fonda-

(•) Vo'mçsAXi {Traité des propriétés projectives des figures, etc., n" 96, 580) est par- Tenu à la droite à l'infini et an plan à l'infini, à l'aide du principe de continuité, dont il a su faire un si remarquable usage. Bien que, dans le cours de nos Leçons, nous n'ayons jamais occasion d'invoquer ce principe, ou plutôt pour ce motif même, nous croyons devoir expliquer ici en quoi il consiste; nous nous servirons, à cet effet, de la belle définition qu'en a donnée Cuasles ( Traité de Géométrie supérieure, Vixvis,

Certaines parties d'une figure, considérôe dans un état général de construction, peuvent être réelles ou imaginaires ; quand elles sont réelles, on dit que le fait de leur existence constitue une propriété contingente de la figure; et pour distinguer ces parties de celles qui sont absolues ou permanentes, on les appelle contingentes. Cela posé, il arrive souvent que les parties contingentes servent utilement, quand elles sont réelles, pour la démonstration d'un théorème, et que cette démonstration n'est plus possible quand ces mêmes parties deviennent imaginaires : on dit alors qu'en vertu du principe de continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend au second cas, et on l'énonce d'une manière générale. Le contraire a lieu quelquefois, et c'est quand certaines parties d'une figure sont imaginaires qu'on y trouve les éléments d'une démonstration facile, dont on étend les conséquences au cas où les mêmes parties sont réelles.

Tel est le principe de continuité, au moyen duquel on procure aux diverses propositions de la Géométrie l'extension et la généralité qui leur manquaient d'ordinaire, quand on considérait d'une manière restreinte les figures et les résultats des raisonnements qui leur étaient appliqués. Poxcelet considéra l'admission et l'usage de ce principe comme tout à fait indispensables pour donner à la doctrine des projections et aux diverses conséquences qui en dérivent la certitude et l'extension nécessaires ; il y trouva en outre le moyen d'interpréter, et d'introduire ouvertement en Géométrie, la considération des infinis et des imaginaires, qui ont une part si importante et si néoetsaire dans l'Analyse algébrique et dans toutes les applications du calcul.

L'usage du principe de continuité en Géométrie date probablement des origines de

12 GEOMETEIB DE POSITION. — CHAPITAB II.

mentales rapportées à une troisième sont aussi rapportées entre elles; en cfTet, à chaque élément de la troisième correspond tonjours un élément de chacune des deux autres formes; d^oùil suit que les deux éléments de celles-ci sont correspondants. Étant données autant de formes qu^on voudra, si la seconde est rapportée à la première et chacune des suivantes à celle qui précède, elles sont toutes rapportées les unes aux autres.

15. Pour rapporter entre elles, de )a manière la plus simple et la plus claire, deux formes d'espèces différentes, on les déduit Tune de Tautre au moyen d'une projection ou d'une section, et Ton prend comme correspondants deux éléments dont l'un dérive de la projection ou de la section de l'autre.

Si, par exemple, un faisceau S de rayons (/ig*. i ) et une ponctuelle iiy qui ne passe pas par le centre du faisceau, sont situés dans le même plan, nous pouvons assigner comme correspondant à chaque rayon du faisceau le point de la ponctuelle qui se trouve sur ce rayon. Au rayon parallèle p de S correspond alors le point à l'infini de u.

Si un système plan S est considéré comme section d'une gerbe S, dont le centre est placé en dehors de 2, S et S sont rapportés l'un à l'autre, de telle sorte qu'à tout point de 2 correspond le rayon de S passant par ce point et à toute droite de Z le plan de S passant par cette droite. A chaque segment de 2 correspond un angle plan de S, à chaque angle plan de 2, un angle dièdre de S. Au plan de S parallèle à 2 correspond dès lors la droite à l'infini de 2, et chaque rayon de S situé dans ce plan a pour correspon-

cette science, ainsi que le fait observer Lacroix, dans la préface de son grand Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégraly au sujet de la seconde proposition du livre XII des Éléments d'EucLiDE, proposition qui a pour objet de prouver que les aires des cercles sont entre elles comme les carrés des diamètres. C'est par des considérations analogues qu'ÀRCDiMÈDB s'éleva ti des propositions beaucoup plus difficiles, telles que les rapports des surfaces et des solidités du cylindre et de la sphère, la quadrature de la parabole, etc. Mais l'énonce du principe de continuité remonte seulement à Leioxitz qui, dans une réponse à MALEDRAXcnE, au sujet de la doctrine des lois du mouvement, l'a proposé comme exprimant cette loi de la nature, que tout se fait par degrés insensibles; ou, comme le disait la philosophie scolastique : Ratura tibhorret a saltu (Voir Cdasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, etc. Bruxelles, 1887, p. 3o3, 357).

FOailES DE LA MÊME ESPECE OU D' ESPÈCES DIFFÉRENTES, ETC. I^

dant son point à l'infîni situé sur X. Chaque faisceau de plans de Sa pour correspondant le faisceau de rayons suivant lequel il est coupé par 2 ; le faisceau de rayons devient un faisceau de rayons parallèles, dans le cas où Taxe du faisceau de plans est parallèle à 2. Si S est une gerbe de rayons parallèles, ayant son centre à Tinfini, à tout point propre de E correspond un rayon propre de S et à tout élément impropre du plan un élément impropre de la gerbe. Si S est le plan à Finfîni et S un point propre, à chaque rayon de S correspond son point à l'infini, à chaque plan sa droite a Tinfini, à chaque faisceau de rayons une ponctuelle à l'infini, a chaque faisceau de plans un faisceau de rayons à Tinfini.

16. Deux formes fondamentales de la même espèce peuvent être rapportées entre elles d'une manière très-simple, quand on les considère comme sections ou projections d'une troisième forme. Ainsi, dans deux faisceaux de rayons ou dans deux droites ponctuelles, qui sont des sections d'un même faisceau de plans, les rayons, ou respectivement les points, situés dans le même plan du faisceau de plans, se correspondent entre eux deux à deux. Deux faisceaux de rayons, S et Sj, peuvent aussi être facilement rapportés l'un à l'autre quand ils sont les projections d'une même ponctuelle u, de telle sorte que les rayons passant par le même point de la ponctuelle se correspondent mutuellement deux à deux.

Si, dans deux gerbes, on assigne comme correspondants deux à deux les rayons qui ont même direction, cela signifie que les gerbes elles-mêmes sont considérées comme projections d'un même système plan dont le lieu est le plan à l'infini.

l4 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CH4PITBE III.