APPLICATION DE LA LOI DE DUALITE AUX FORMES FONDAMENTALES

Si des droites, prises en nombre quelconque, se coupent deux à deux, mais

ne passent pas toutes par un même point, elles sont toutes dans un même plan.

ne sont pas toutes dans un même plan, elles passent toutes par un même point.

18. Deux relations ou deux propositions déduites ainsi Tune de l'autre sont dites corrélatives ou réciproques. Souvent d'ailleurs une proposition est réciproque à elle-même, si le point et le plan s'y présentent symétriquement. Tel est, par exemple, le problème suivant : Mener dans un plan, par un point donné de ce plan, une droite rencontrant une autre droite donnée, qui ne passe pas par le point et qui n'est pas dans le plan. Ce problème admet deux solutions réciproques :

Ou bien on joint le 'point donné au point d'intersection de la droite et du plan.

Ou bien, par la droite et par le point donnés, on fait passer un plan et l'on détermine son intersection avec le plan donne'.

A ce problème on ramène facilement les suivants :

Par un point donné, mener une droite qui rencontre deux droites données, non situées dans un même plan avec le point.

Si Ton fait passer un plan par le point donné et par Tune des droites données,

Dans un plan donné, mener une droite coupant deux droites données, qui n*ont pas un même point commun avec le plan.

Si l'on détermine le point d'intersection du plan donné avec Tune des droites données,

le problème est ramené au précédent.

II. — Application de la loi de dualité aux formes fondamentales.

19. Les formes fondamentales peuvent aussi cire placées les unes en face des autres comme formes réciproques. C'est le cas, par exemple, du système plan et de la gerbe, dont les lieux, c'està-dire le plan et le point, sont réciproques.

Dans la gerbe :

Le plan.

Le faisceau de plans.

Le rayon (comme ligne d'intersection de plans] y

Le faisceau de rayons.

l8 GÉOllÉTaiE DE POSITION. — CUAPITaE III.

Sont dès lors réciproques :

Dans le système plan :

Le point, La ponctuelle.

Le rayon (comme ligne de jonction

de points), Le faisceau de rayons,

et ainsi de suite.

Il résulte de ce qui précède que, dans Tespace, la droite (ou rayon ) est réciproque à elle-même ; elle occupe effectivement une situation en quelque sorte intermédiaire entre les éléments réciproques, point et plan.

Nous donnerons Texemple suivant d'une double proposition dans laquelle le système plan et la gerbe figurent comme systèmes réciproques :

Si deux systèmes plans sont rapportés l'un à Tautre, de façon qu'on les considère comme sections d*unc même gerbe, les cléments correspondants (points ou droites] des systèmes sont situés deux à deux sur un même élément ( rayon ou plan) de la gerbe. La ligne d'intersection des deux plans coïncide avec sa corresdante, ou se correspond a elle-même, et telle est aussi la condition de tout point situé sur cette droite.

Les deux systèmes plans ont ainsi une ponctuelle correspondante commune.

Si deux gerbes sont rapportées l'ane à l'autre, de façon qu'on les considère comme projections d'un même système plan, les éléments correspondants (rayons ou plans) des gerbes passent deux à deux par un même élément (|>oint ou droite ) du système plan. Le rayon commun aux deux gerbes, qui en réunit les centres, coïncide avec son correspondant ou se correspond à lui-même^ et telle est aussi la condition de tout plan passant par ce rayon.

Les deux gerbes ont ainsi un faisceau de plans correspondant com- I mun.

m. — Réciprocité dans le plan.

20. Dans le plan, deux figures ou deux propositions corrélatives se déduisent Tune de l'autre par Téchange des éléments point et droite. Ainsi :

Deux points quelconques d'un plan déterminent une droite.

Deux droites quelconques d'un plan déterminent un point.

RECIPROCITE DANS L4 GERBE.

On trouvera dans le Chapitre suivant quelques propositions propres à rendre ce genre de corrélation familier.