I. — Polygone et multilatère plans complets

22. Il est de règle, dans la Géométrie moderne, d'entendre par polygone [n-gone) plan simple, non pas une portion du plan(*)

(*) Reye {Die Géométrie der Lage, erste Abtheilung. Hannover, 1866, p. 26), observe que, dans la Géométrie des anciens, on entendait par polygone une portion do plan, sans comprendre sous cette dénomination les figures croisées ou étoilécs. Cela n'est pas d'une exactitude absolue; bien qu'il ne soit pas question des polygones étoiles dans la Géométrie grecque, telle que nous l'ont transmise les Œuvres d'EucLiDE, d'ARCHivÉDE ct d'ApoLLOxics , OU pcut Cependant inférer de nombreux indices que ces figures n'étaient pas tout à fait inconnues et qu'elles furent l'objet d'une certaine étude, notamment dans l'École pythagoricienne. Cuasles a consacré à celte question un chapitre enlier de son Aperçu historique (Bruxelles, 183;, p. 476-487). Cantor s'en est aussi occupé avec grand soin dans ses Mathematische Beitràge zum Kulturleben der Jôlker (Halle, i863, p. 84 et suiv.). Mais l'étude la plus complète sûr cette matière est due à Gûntuer, qui lui a consacré un Mémoire spécial, intitulé : Lo sviiuppo storico délia teoria dei poligoni stellati nell' antichità e nel medio evo (t. VI, 18/3, du Bullettino di Dibliografia e di Storia délie Scienze matemaii" che efisiche, publié à Rome par le prince Baltbazar Bomcoupagni). L'étude du développement historique des polygones étoiles, depuis le moyen âge jusqu'à nos jours, a été continuée par le même auteur ct se trouve dans lo volume intitulé : P^ermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften von D' Sieghusd GO!fTn£R. Leipzig, 1876, p. 1-92.

POLYGONE ET liULTILATERE PLANS COMPLETS.

limitée de toutes parts par n droites qui se coupent, mais le système de /z points d'un plan et des n droites (côtés) dont chacune joint deux points (sommets) successifs. Les sommets sont considérés dans un ordre déterminé et soumis à la condition que trois d'entre eux consécutifs ne se trouvent jamais en ligne droite. Le polygone [n-gone) simple peut encore être appelé multilalère l^n-laière) simple; par suite, un multilatère est le système de n droites et des n points d'intersection de ces droites prises successivement deux à deux. Le polygone et le multilatère sont des conceptions réciproques : aux lignes de jonction de deux sommets non consécutifs (diagonales) d'un polygone simple correspondent, dans le multilatère simple, les points d'intersection de deux côtés non consécutifs.

23. Outre les polygones et multilatères simples, la Géométrie moderne considère les polygones et ' les multilatères com~ plets ('), et la loi de dualité n'apparaît pas moins évidente dans ces derniers systèmes. Nous appelons, en effet, d'une manière générale :

Poljrgone plan complet, un système de n points du plan ou sommets, dont trois ne sont jamais sur une même droite, considérés ensemble

avec les

droites ou côtes

qui les unissent deux à deux.

fi — I côtés se coupent sur chaque

., , nfrr — j] sommet; il y a donc en tout

Multilatère plan complet, un système de n droites du plan ou côtés, dont trois ne passent jamais par un même point, considérées ensemble

n{n — i] avec les — ^ points ou sommets

où elles se coupent deux à deux.

n — I sommets reposent sur chii-

que cote ; il y a donc en tout

(') Le quadrilatère complet est mentionné pour la première fois par Carnot (Z>« la corrélation des Jif^ures de Géométrie, Paris, i8oi, p. 123), qui a été conduit à cette notion en considérant que quatre droites, tracées d'une manière quelconque dans un plan et indéfiniment proIon(;ées, forment trois quadrilatères ayant chacun deux diagonales. Les six diagonales se réduisent effectivement à trois. Carnot a donné le nom de quadrilatère complet à l'ensemble des trois quadrilatères et de leurs trois diagonales, prolongées jusqu'à leurs rencontres réciproques. Steiner {Systematische Entwickelung, etc. Berlin, i832) a étendu cette conception à tous les polygones (p. 73) et aux Ggures dans l'espace (p. 335).

(M^tés qui se coupent en

points d'intersection.

Dans le polygone [n-gone) complet, sont contenus 3,4i --m {^ — 1) polygones simples.

sommets qui sont unis fKir

diagonales (').

Dans le multilatère [n-latère] complet, sont contenus 3,4i •••>('» — i) multilatères simples.

( ') Dans le multilatère complet, chacun des /i côtés est coupé par les (/i — 1) autres en {n — 1) points, ce qui donnerait n{n — 1) points d'intersection si chaque point n'avait pas été compté deux fois. Pareillement, dans le polygone complet, chacun des n sommets peut être joint aux (/i — i) autres par (n — i) droites ; mais chaque droite

se présente ainsi deux fois. Les

sommets du multilatère complet pourraient

en outre être joints par

droites, si chaque sommet ne reposait pas, avec (/i — 3) autres, sur l'un des n côtés du multilatère complet; mais toute droite menée de l'un des points aux {n — 3) autres, coïncide avec l'un des côtés du multilatère; on a donc seulement

droites.

Pareillement, les- côtés du polygone complet se couperaient en

points, si chaque côté n'en rencontrait pas (/t — 3) autres sur l'un des n sommets du polygone complet; on doit, par conséquent, considérer n — 1 points au moins sur chaque côté, si aucun des nouveaux points ne doit coïncider avec un sommet quelconque du polygone; on aura donc seulement

points d'intersection.