POLYGONE ET UULTILATÈRE PLANS COUPLETS

El, en particulier :

Quatre points A, B, C, D [fig. 2) d'un même plan, dont trois quelconques ne sont pas en ligne droite, constituent une figure qui prend le nom de quadrangle complet.

Le quadrangle complet a pour sommets les quatre points A, B, C, D et pour côtés les six droites qui joignent ces points deux ù deux.

Deux côtes qui ne passent pas par un même sommet sont dits oppo^ ses; il y a donc trois couples de côtés opposés : AB et CD, AC et BD, AD et BC.

Les points E, F, G, où concourent les côtes opposésy sont nommes points diagonaux (') et le triangle £FG est dit triangle diagonal du quadrangle complet.

Le quadrangle complet contient trois quadrangles simples ABCD, ACDB et ADBC, qui ont pour côtés deux couples de côtés opposés du premier.

Quatre droites û, ô, c, d [fig, 3) d'un même plan, dont trois quelconques ne concourent pas en un même point, constituent une figure qui prend le nom de quadrilatère complet,

Fig. 3.

Le quadrilatère complet a pour côtés les quatre droites tf , b^ c, d et pour sommets les six points d'intersection de ces droites deux à deux.

Deux sommets non situés sur un même côté sont dits opposés; il y a donc trois couples de sommets opposes : ab et cd^ ac et bd^ ad et bc.

Les droites r, /, g^ qui joignent les sommets opposés, sont nommées droites diagonales et le triangle efg est dit triangle diagonal du quadrilatère complet.

Le quadrilatère complet contient trois quadrilatères simples abcd, acdb et adbc^ qui ont pour sommets deux couples de sommets opposés du premier.

(') Bi^AfiTis substitue à cette dénomination ceWeà^conlatères, qu'il emprunte, ainsi qu'il le dit lui-même {^Jtti delV Imp, Reg. Istituto veneto, t. Vlll, série III, p. 307), iQ géomètre anglais Wedole. 11 appelle en outre {ibid.) tétragone complet le corrélatif du quadrilatère complet.

n. — Moltarête et polyèdre complets.

24. Il est facile de concevoir les systèmes qui, dans Ja gerbe, correspondent à ceux du plan. Si l'on projette, en effet, un polygone ou un multilatère complet, d'un point non situé dans son plan, on obtient respectivement un angle multarête ou un angle polyèdre complet (*). Et réciproquement, si Ton coupe un angle multarête, ou un angle polyèdre complet, par un plan qui ne passe pas par son sommet, on obtient respectivement un polygone, ou un multilatère complet.

Nous appellerons donc :

Angle multarête (n-arete) complet le système de n droites ( arêtes ) dans la gerbe ( c'est-à-dire p<issant par un même point) et de tous les plans (faces) qui contiennent ces droites deux à deux, trois des n droites ne devant jamais être dans un même plan.

Angle polyèdre [n-èdre) complet le système de n plans (faces) dans la gerbe (c'est-ii-dire passant par un même point) et de toutes les lignes (arêtes) suivant lesquelles ces plans se coupent deux à deux, trois des n plans ne devant jamais passer par une même droite.

En particulier :

L'angle quadrarête complet est le système de quatre droites (arêtes) û, b, c, d, passant par un même point, considérées ensemble avec les six plans ( faces ) qui les contiennent deux à deux.

Les droites d'intersection des faces opposées, bc et ad^ ca et bd , ab et cd sont les diagonales de Tangle quadrarête.

L'angle tétraèdre complet est le système de quatre plans (faces) a, P» 7» ^» passant par un même point, considérés ensemble avec les six droites (arêtes) suivant lesquelles ils se coupent deux à deux.

Les plans contenant les couples d'arêtes opposées, p7 et a^, 7a et P^, ap et 7Ô, sont les plans diagonaux de l'angle tétraèdre.

(«) La dualité dans les polyèdres particuliers remonte à une date relativement éloignée. Voir Macrolico (O/iiwc. ma//iew. Vcnetiis, 1675, p. io3); ¥.i,v\s.K {Harmonicei mundi, t. V, p. I .) ; Meister {Comm, Gôtting. 1785, t. VII, p. 39.). Gercoîwe {Annales de Mathématiques, t. XV, p. 167) a formulé l'expression exacte du théorème général.