FORMES A TROIS ÉLÉMENTS UNIS

on doit conclure que tous les éléments des ponctuelles proposées sont unis.

On démontre la même propriété, pour deux faisceaux de rayons ou de plans qui ont trois éléments unis, en coupant les faisceaux par une même transversale.

Donc, si deux formes fondamentales projectives simples n'ont pas tous leurs éléments unis, elles ne peuvent avoir plus de deux cléments unis.

y. — Formes à trois éléments unis. Conditions pour que denz ponctuelles projectives non superposées deviennent perspectives.

AÂf, Il résulte de ce qui précède que, si une ponctuelle et un faisceau, ou un faisceau de rayons et un faisceau de plans, sont projectifs et ont trois éléments unis, la première forme est une section de la seconde.

45. Si deux ponctuelles projectives, u et Ui lfig> ï4)i situées dans

Fig. 14.

un même plan, mais non superpo^ sees, ont comme point uni leur intersection A, elles sont sections d'un même faisceau de rayons et par conséquent perspectives.

En effet, deux points quelconques B et C de II sont joints à leurs correspondants respectifs Bi et Ci de «1, par les droites 6 et c qui se coupent en un point S. Les deux

Si deux faisceaux projectifs de rayons y S et Si [fig. i5), situés dans

Fig. i5.

un même plan, mais non concentriques, ont comme rayon uni la droite a qui joint leurs centres, ils sont projections d'une même ponctuelle et par conséquent perspectifs.

En effet, deux rayons quelconques b et c de S sont rencontrés par leurs correspondants respectifs ^1 et Cl de S aux points B et C d*une droite u^ . Les deux ponctuelles

GÉOMÉTRIE DE POSITION. -> CHAPITaB VI.

faisceaux de rayons par lesquels les ponctuelles u et Ui se projettent de S sont identiques, puisqu'ils sont projectifs et qu'ils ont trois rayons unis SA, SB, SC ou a, b, c.

En projetant les figures de ces dans l'espace, en dehors de leur veaux théorèmes suivants :

Si deux faisceaux projectifs de rajronSy concentriques mais situés dans deu,v plans différents , ont comme clément uni la droite d intersection de ces plans, ils sont sections d'un même faisceau de plans et par conséquent perspectifs,

46. Deux ponctuelles projectiles, u et Ui, étant surdeuœ droites diffé^ rentes, si trois points quelconques B, C, D de Vune [^u^ sont joints aiLr trois points Bj, Cj, Di, qui leur correspondent sur Vautre ( Wj ) par trois rayons concourant en un même point S, les deux ponctuelles sont sections du faisceau S de rayons, par suite perspectives, et toutes les tirai tes qui joignent deux points correspondants passent par S.

En cfTet, les faisceaux projectifs des rayons par lesquels les deux ponctuelles sont projetées du point Sont trois rayons unis, BBj, CCi, DDi, et par conséquent tous leurs rayons unis.

suivant lesquelles la droite s coupe les faisceaux S et S| sont identiques, puisqu'elles sont projectives et qu'elles ont trois points ums ua, ub^ uc ou A, B, C.

deux théorèmes d'un point pris plan, on obtient les deux nou-

Si deux faisceaux projectifs de plans, dont les axes se coupent, ont comme élément uni le plan déterminé par ces axes, ils sont projections d'un même faisceau de rayoM et par conséquent perspectifs.

Deux faisceaux projectifs de rayons, S et Si , ayant des centra difféients, si trois rayons quelconques b^ c, d de l'un (S) sont coupés par les trois rayons Aj, r^, rfj, qé leur correspondent sur l'autre (Sj) en trois points situés sur une même limite M, les deux faisceaux sont projections de la ponctuelle «, par suite perspectifs, et tous les points où se coupent deux rayons correspondants sont sur u.

En effet, les ponctuelles projectives suivant lesquelles les deui faisceaux de rayons sont coupés par la droite u ont trois points unis, bbi, cci, ddi, et par conséquent tous leurs points unis.

En projetant les figures d'un point quelconque de l'espace on aura les théorèmes analogues pour deux faisceaux de rayons on de | plans dans la gerbe. j