VI. — Formes rapportées projectivement entre elles

47. Pour rapporter projectivemenl deux formes fondamentales simples, il suffira de prendre arbitrairement trois couples d'éléments correspondants ; tout élément de Tune des formes aura alors son correspondant déterminé dans Tautre.

Nous nous bornerons à considérer les divers cas qui peuvent se présenter pour deux ponctuelles ; on ramènera facilement à ces cas tous ceux qui se rapportent, soit à une ponctuelle et à un faisceau, soit à deux faisceaux, puisqu'à tout faisceau peut être substituée sa section par une droite.

Soient donc deux ponctuelles u et u^ (Jig' i4) 4"^ se coupent et qu'il s'agit de rapporter projectivement Tune à l'autre, de telle manière que le point d'intersection A soit un point uni et qu'aux points B et C de u correspondent les points B| et C| de M|. En ce cas. Tune des ponctuelles est une projection de l'autre (45) faite du point S d'intersection de BB| etCC|. A un quatrième point quelconque D de u correspondra donc, dans i/|, sa projection D|, faite du point S.

Soient encore deux ponctuelles u et i/| {/!g' 16), non situées

Fij. 16.

sur la même droite, et qu'il s'agit de rapporter projectivement Tune à l'autre, de telle sorte qu'aux points A, B, C de m correspondent respectivement les points A|, B|, C| de i/<. Prenops sur la droite qui joint deux points correspondants, par exemple sur AA|y un point S différent de A et de A| ; faisons passer par A4

une droite 1/2, différente de a< et de AA| et rencontrant la droite u. Projetons la ponctuelle u sur U2 du centre S et soient A2, B2, Cj les projections de A, B, C. Le problème est alors ramené au précédent. Nous n'avons plus, en effet, qu'à rapporter projectivement les deux ponctuelles W| et U2 de telle manière que leur point d'intersection A< et A2 soit un point uni et qu'aux points B| etCj deu, correspondent respectivement les points B2 et C2 de 1/2- Les ponctuelles li et W| peuvent ainsi être considérées comme projections d'une troisième ponctuelle 1/2- Pour déterminer surui le point D,, correspondant à un point quelconque D de m, nous projetterons, du centre S, D en D2, puis, du centre S|, D2 en D| sur i/|.

Enfin, si les ponctuelles u et M|, situées sur la même droite, doivent être rapportées projectivement, de telle sorte qu'aux points A, B, C de li correspondent respectivement les points A|, B|, C<, de W|, on ramènera ce cas au précédent en projetant Ui sur une autre droite quelconque 1/2. Si deux points correspondants quelconques, par exemple A et A|, coïncident, on fait passeri/j par le point uni qui en résulte et l'on retombe ainsi sur le premier cas.

Il ressort de cette recherche que deujc formes fondatnentales projectiles pem^ent toujoiu^s être coiisidéî'ées comme la première et la dernière d^ une série déformes dont chacune est perspective à celle qui la précède et à celle qui la suit.

Ces considérations n'ont pas seulement pour effet de justifier l'expression de projectivité ; elles mettent encore en évidence qu'à chaque succession continue d'éléments dans l'une des deux formes projectives correspond une succession continue d'éléments dans l'autre. Si donc deux éléments correspondants en engendrent un troisième, l'ensemble des éléments ainsi engendrés doit être aussi une suite continue d'éléments.

Vn. — Formes projectives concordantes et opposées.

48. Si de deux ponctuelles projectives, u et Ui {fig- 17), Tune u est décrite par le mouvement de l'un de ses points P, le point Pj, qui est à chaque instant correspondant de P dans i/i, parcourt en même temps cette seconde ponctuelle.

Lorsque u et Ux sont situées sur la même droite, Pj peut se

FOUIES PBOJECnVES CONCORDANTES ET OPPOSÉES. 49

mouvoir, soil dans le même sens que P, soit dans le sens opposé. Nous dirons que les ponctuelles sont projectives concordantes

dans le premier cas (A) et projectives opposées dans le second cas (a).

Pareillement (Jîg- i8) deux faisceaux, projectifs de rayons, S cl S|, concentriques et situés dans le même plan, ou deux fais-

Fie. i8.

ceaux projectifs de plans ayant le même axe, considérés comme simultanément décrits par la rotation de deux éléments correspondants, sont dits projeciifs concordants, quand les deux éléments tournent dans le même sens [d), et projectifs opposés, quand ils tournent en sens contraire (c). Dans les formes projectivcs opposées, les deux éléments mobiles correspondants doivent nécessairement tomber deux fois l'un sur l'autre; en d'autres termes, les Jormes projectitvs opposées ont deux éléments unis, par lesquels deux autres éléments correspondants quelconques sont séparés. Les formes projectives concordantes, au contraire, n'ont deux éléments unis que si un segment AB (ou un angle nb) de l'une est situé tout entier dans le segment correspondant A, B, (ou respectivement dans l'angle correspondant <i|6|) de l'autre. Elles n'ont parfois qu'un seul élément uni, et souvent elles n'en ont IQCUD (').

GEOMBTIIB DE POSITION. — CHAPITEE VI.

vm. — Gonsécpiences dans les n-gonet.

49. Parmi les nombreuses conséquences à déduire de ce qui précède, nous nous bornerons à indiquer la double proposition suivante :

Si les n sommets éCun n~gone plan se meuvent sur des droites fixes, paS' sant toutes par un même point S, tandis que n^ i côtés picotent autour de points fixes, le dernier côté pivotera aussi (45) autour d'un point fixe» Les n sommets du n^gone sont les points correspondants de n ponctuelles projectives, qui ont toutes pour élément uni le point S. Deux sommets non consécutifs peuvent parcourir une même droite; mais, s'ils parcourent deux droites différentes, la diagonale qui les joint pivotera autour dun point fixe.

Si les n côtés d'un n-latère plan picotent autour de points fixes, tous situés sur une même droite u, tandis que n-\ sommets se mew^ent sur des droites fixes, le dernier sommet parcourra aussi une droite fixe. Les n côtés du n-latère sont les rayons correspondants de n faisceaux projectifs de rayons, qui ont tous pour élément uni la droite u. Deux côtés non consécutifs peuvent pivoter autour d'un même point ; mais, s'ils pivotent autour de deux points différents^ leur point d'intersection parcourra une droite fixe.

Voici un cas particulier de la proposition à droite :

Etant données les directions des quatre côtés d^un quadr angle plan, si trois sommets sont respectis^ement situés sur trois droites Jixes, telles que la direction d'aucune d'elles ne se confonde avec la direction de l'un des deux côtés dont elle contient l'intersection, le quatrième sommet du quadr angle sera également situé sur une droite Jixe,

de cas particuliers, pourra consulter le J </ de la première Section de rOuvrage suivant : Lehrbuch der neueren Géométrie f'ùr hôhere UnterrichtS'Anstalten and xum SelbststU' dium, Yon D' Rudolf Stacdigl. Wien, 1870. Yerlag von L.-W. Seidel et Sohn.

RELATIONS MÉTRIQUBS ENTRE LES AN€LES ET LES SEGMENTS 5l