DES ELEMENTS. G

conques, A et A|, des ponctuelles projectives u et w,, prenons les centres S et Si de deux faisceaux de rayons, le premier S [abc] projetant la ponctuelle u ( ABC ), le second Si(aiè,c,) projetant la ponctuelle ai(AiBtCi). Ces faisceaux sont projectifs, comme projections de ponctuelles projectives. De plus, ils sont perspectifs, puisque les rayons correspondants a tla^ sont unis sur la droite de jonction de leurs centres (45). Us sont donc des projections de la ponctuelle u^ à laquelle appartiennent les points d'intersection bb^ et rci.

Pour trouver le point Di de i/,, correspondant à im point quelconque D de ic, coupons la droite DS ou d par «2 et projetons, du centre Si , au moyen du rayon </i, le point d'intersection du^ sur la droite u^.

La projection d^ u^ est le point cherché Di. Le rayon DDi ou p appartient au faisceau K du second ordre.

Les problèmes suivants se trouvent en même temps résolus :

Trouver sur tout rayon de S ( ou de Sx) le second point d'intersection, différent de S [ou de S^), apec la courbe du second ordre.

Mener par tout point de u [ou de «1 ) le second rayon, différent de u [ou de i<|), du faisceau du second ordre.

En cherchant, de la manière qui vient d'être indiquée,

ks deux rayons correspondants au rayon commun des faisceaux.

les deux points correspondants au point d'intersection des ponctuelles,

on résout les problèmes suivants :

Construire, aux centres de deux faisceaux projectifs de rayons, les

Construire, sur deux ponctuelles projectives, les points de contact du

tangentes à la courbe du second ordre engendrée par ces faisceaux.

faisceau du second ordre engendxt par ces ponctu/dles.

67. La construction qui conduit aux solutions précédentes Iburnit encore un résultat important :

Menons, d'une part, à gauche, le rajon S| Ss ou m^ , qui est coupé par u au point M et par U| au point M|. Ce rayon a évidemment pour correspondant le rayon SM dans le faisceau S. Dès lors, si D| vient à coïncider avec M|, les points D et P coïncident en même temps avec M. Il s'ensuit que M est le second point d'in- Icrsection de la courbe A" et de la droite u. Pareillement, le second point d'intersection L| de la courbe h et de U| est situé sur la droite SS2.

Il convient de rappeler que les droites u et U| , prises arbitrairement, ne sont assujetties à aucune condition autre que celle de se couper sur la courbe A .

Joignons, d'autre part, à droite, le point d'intersection U| u^ ou Qi au centre S par la droite SQ|. Cette droite contient le point Q de M, qui correspond au point Qi de i/| ; SQi est donc un rayon du faisceau K du second ordre. Pareillement, le rayon S| R, qui projette de S| le point d'intersection de u et de u^^ est un rayon de K.

Les points S et S| ont d'ailleurs été arbitrairement choisis sur un rayon a du faisceau K. Le double problème suivant se trouve ainsi résolu :

Une droite quelconque u coupant en un point donné A une courbe k du second ordre, trouver le second point d* intersection de la courbe et de la droite u.

Un point quelconque S étant sur un rayon donné a d'un faisceau K du second ordre, tracer le second rayon tlu faisceau qui passe par le point S.