THÉORÈMES DE PASCAL ET DE BRIANCIION

droites concourantes d^ d^ et i/, sont les diagonales principales ou droites de jonction des sommets opposés de l'hexagone SS|RDDiQi.

sur une droite passant par S,. Mais les trois points alignés D, D| et S^ sont les points d'intersection des côtés opposés de TheiiLagone SPSiMALi.

Les propositions suivantes se trouvent ainsi démontrées :

Théorème de Pascal (*).

Dans tout hexagone simple, inscrit à une courbe du second ordre, les points de concours des trois couples de côtés opposés sont en ligne droite.

Théorème de Beiakcbon.

Dans tout hexagone simple, ayant pour côtés six rajrons d 'un faisceau du second ordre, les droites qui Joignent les trois couples de sommets opposés concourent en un même point.

(* ) Ce théorème célèbre, désigné sous le nom d'hexagramme mystique, est contenu dans l'Essai sur les coniques, opusc. de sept pages in-8**, que Pascal publia quand il aTait il peine seize ans. Le but de Pascal, en faisant cette publication, était de soumettre quelques-uns de ses théorèmes au jugement des géomètres avant de pousser plus loin, sur les bases du premier Essai, un travail grandiose qui devait porter le titre do Traité complet des coniques. Pascal écrivait lui-même : Conicorum opus completum, ci conica ^pollonii et alta innumera unica fere propositione amplectens ; quod qui^ dem nondum sex declmum œtatis annum assecutus excogitavi, et deinde in ordinem congessi {Œuvres de Pascal, t. IV, p. 4 10). Mais cet ouvrage ne nous est point parvenu. LsiBUiTZ a eu, pendant son séjour à Paris, le manuscrit de Pascal entre ses mains ; il nous fait connaître, par une lettre adressée à Périer, neveu de Pascal (Couvres de Pascal, t. V, p. 4^9-4^3), les titres des six parties ou traités dont l'ouvrage devait se composer. L'importance du sujet nous a paru justifier la reproduction sommaire que nous faisons ici de ces titres.

Celui de la première partie nous apprend que Pascal se servait des principes de la perspective pour engendrer les coniques par le cercle et déduire ainsi leurs propriétés de celles du cercle. Celte méthode, suivant Leid.mtz, était le fondement de tout l'ouvrage. La seconde partie roulait sur l'hezagramme mystique. Dans la troisième partie se trouvaient les applications de l'hexagramme, les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement, et probablement, suivant l'opinion de Po!i- CKUT {Traité des propriétés projectiles, édit. i8î2, p. loi), les théorèmes qui constituent la théorie des pôles. La quatrième partie contenait ce qui a rapport aux segments déterminés sur des sécantes parallèles à deux droites fixes, et les propriétés des foyers. Dans la cinquième étaient résolus les problèmes ayant pour objet de décrire une conique qui satisfasse à cinq conditions : passer par des points et toucher des droites. Enfin, la sixième partie avait été intitulée, parLEiBMTZ, De loco solido. Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du fameux problème de Pappus, Ad très aut quatuor lineas.

Quelques fragments contenaient divers problèmes, parmi lesquels celui de restitutione et un autre, appelé magnum, qui était énoncé dans tes termes suivants : Dato puneto in sublimi et solido conico ex eo descripto, soiidum ita secare^ ul exhibent sectionem eonieam datœ similem.

Lbii!Iitz terminait sa lettre précitée par le conseil de livrer le traité sur les coni-

69. Imaginons que, dans Thexagone SPS|MÂL| de Pascal {Jig- 23), tous les sommets restent fixeSyàrexceptîon du sommet A, et que celui-ci se meuve sur la courbe. En ce cas, L|A ou u^ pivote autour de L|, MA ou u autour de M, et les points D,Di se meuvent sur les droites fixes rf,(/|, de telle sorte que la droite DDi passe toujours par le point Sj. Le théorème de Pascal est \Tai pour tout hexagone ainsi constitué. D et Di décrivent par conséquent deux formes perspectives, d ei d^y qui sont des sections du faisceau Si de rayons, et, dans le même temps, u^ et u décrivent respectivement, autour de Lf et de M, deux faisceaux rojectifs de rayons, qui sont les projections des ponctuelles perspectives d et d^. Nous pouvions donc concevoir la courbe h comme engendrée par les faisceaux projectifs de rayons L| et M, dont les centres sont deux points pris arbitrairement sur la courbe.

Imaginons que, dans l'hexagone SS,RDDjQi de Brianchon {fig' ^4)f '^ous les côtés restent fixes, à l'exception de SSi, et que celui-ci se déplace sans jamais cesser d'être un rayon du faisceau K du second ordre. S, décrit alors une ponctuelle SjR ou rj et S une ponctuelle SQi ou q. Ces deux ponctuelles sont projectives, puisque le point d'intersection des diagonales principales SjD, et SD se meut, dans le même temps, sur la droite fixe Qj R et décrit une ponctuelle Mj, à laquelle g et /'j sont perspectives. Nous pouvons donc concevoir le faisceau R du second ordre comme engendre par les ponctuelles projectives q etr^y dont les lieux sont deux rayons quelconques du faisceau.

qucs à l'impression et même d'y procéder avec sollicitude. On ne sait pourquoi ce conseil n'a pas été suivi, ni comment le manuscrit du célèbre mathématicien a disparu, au grand détriment de la Science géométrique. ( Voir Cbasles, j4 perçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 70-71. — Poncelet, Traité des propriétés projectives , etc. Paris, 1823, n® 202. — Weissenborn, Die Projection in der Ebene, Berlin, 1862, Vorrede).

Quant au théorème de Briaxchon, cet habile mathématicien l'a donné pour U première fois, comme conséquence de celui de Pascal, dans un écrit intitulé : ifrmoire sur les surfaces courbes du second degré {Journal de l'École Pol^techniquCf XIII* cahier, 1806, p. 397-311). Ccst le premier exemple qu'on ait d'un théorème déduit d'un autre par la simple considération des polaires réciproques. Dans son Mémoire sur les lignes du second ordre (Paris, 18 17, in-8®), le même auteur, s'appuyant sur le théorème de Desargues, que nous démontrerons plus loin, a résolu d'une manière très-simple les diverses questions relatives à la construction d'une conique déterminée par cinq conditions de passer par des points et de toucher des droites. (Voir Chasles, Rapport sur les progrès de la Géométrie, Paris, MDCCCLXX, p. 28.)