SYSTEMES HARMONIQUES DANS LA COURBE ET DANS LE FAISCEAU, ETC. 7I

Nous avons ainsi établi la généralité des théorèmes de Pascal et de Brianchon et nous avons, en même temps, donné une démonstration des propositions sommairement déduites au n" 65.

VI. — Relation entre les conrbes et les faisceanz dn second ordre.

70. De ce qui précède et des propriétés antérieurement établies (64), il résulte que :

Far tout point d*une courbe du second ordre passe une tangente à la courbe.

Sur tout rayon d*un faisceau du second ordre est situé un point de contact du faisceau.

Il suit de là que toute courbe du second ordre est eiweloppée par un système de tangentes et que tout faisceau de rayons du second ordre enveloppe un système de points de contact.

Nous vérifierons par la suite (85 et suiv.) que ce système de tangentes et ce système de points de contact sont respectivement un faisceau de rayons et une courbe du second ordre.

Vn. — Systèmes harmoniqaes dans la courbe et dans le faisceau

de rayons du second ordre.

71. Quatre points d'une courbe du second ordre sont dits harmo' niques, quand les rayons qui les projettent d'un point quelconque, et par conséquent d'un cinquième ])oint quelconqne de la courbe, forment un faisceau harmonique.

Quatre rayons d*un faisceau du second ordre sont dits harmoniques, quand ils sont coupés par une droite quelconque, et par conséquent par un cinquième rayon quelconque du faisceau, en quatre points harmoniques.

Étant donnés, par conséquent, trois points d'une courbe, ou trois rayons d'un faisceau du second ordre, on peut déterminer immédiatement et construire le quatrième harmonique, pourvu que Ton connaisse celui des trois éléments donnés dont ce dernier doit être séparé.

Vin. — Conditions ponr qne denx conrbes on denx âdsceanx de rayons

dn second ordre coïncident.

72. Deux courbes du second ordre coïncident quand elles ont en commun cinq points, ou quatre points et la tangente en l'un d\ux S, on trois points et les tangentes en deux de ces points^ S c^/ S| .

Projetons tous les points des deux courbes, du j)oint commun S, au moyen d'un faisceau de rayons; ce faisceau est projectif à deux autres, qui projettent les deux courbes, du point commun S|. Mais ces derniers faisceaux sont identiques, puisqu'ils ont, dans tous les cas de Tenoncé, trois rayons unis, savoir : dans le premier cas, trois rayons allant aux trois points, autres que S et Sj, communs aux deux courbes; dans le second cas (les deux courbes ayant une tangente commune en S), deux rayons allant à deux points communs et le rayon S| S; enfin, dans le troisième cas, qui est celui des tangentes communes en S et en Si, un rayon allant au troisième point commun, le rayon Si S et la tangente commune en Sj. Tout rayon de S projette donc un point commun aux deux courbes.

Deux faisceaux de rayons da second ordre coïncident quand ils ont en commun cinq rajrons^ ou quotn rayons et le point de contact sar Vun d^eux u^ ou trois rayons et les points de contact sur deux d^entir euXf u et u^.

Coupons tous les rayons des deux faisceaux, au moyen da rayon commun 1/, suivant une ponctuelle ; cette ponctuelle est projective à deu\ autres, suivant lesquelles les deux faisceaux sont coupés par le rayou commun if|. Mais ces dernières ponctuelles sont identiques, puisqu'elles ont, dans tous les cas de Ténoncé, trois points unis, savoir : dans le premier cas, trois points situés sur les trois rayons, autres que u et ir,.

communs aux deux faisceaux ; [dans le second cas (les deux faisceaux ayant un point de contact commun en i/j, deux points situes sur deux rayons communs et le point uu^\ enfin, dans le troisième cas, qui est celui des points de contact communs sur u et sur i/j, un point sur le troisième rayon commun, le point uu^ et le point de contact commun sur u^. Par tout point de u passe donc un rayon commun aux deux faisceaux.

De ce qui vient d'être établi, nous pouvons encore conclun' que :

Une infinité de courbes du second ordre peuvent avoir en commun quattv

Une infinité de rayons du second ordre peuvent avoir en commun quatre