I. — Conception de la tangente et du point de contact
78. Nous avons appelé tangente à la courbe du second ordre en un point Si {fig' 21) une droite pi qui n'a que le point Sj commun avec la courbe, et nous avons trouvé qu'il n'existe qu'une seule tangente pour chaque point de la courbe (64).
(*) La fécondité de Vhexagramme mjstique est telle que Pascal a pu faire de cetlo^ propriété la base du Traité complet sur les coniques, dont nous avons précédemment parlé. Pascal, suivant le rapport du P. Mersenke, a ainsi déduit quatre cents corollaires d'un seul principe : « Unica propositione universalissima, 400 corollariis « armaia^ integrum Apollonium complexus est. 9 (De mensuris, ponderibuSy etc.,.
Il est à remarquer que chacun des corollaires principaux exprimait une propriété déterminée de six points situés sur une conique. On comprend dès lors que Pascal ait pu déduire ces corollaires de Yhexagramme mystique, qui est lui-môme une propriété générale de six points. Chacun des corollaires principaux se présentait d'ailleurs sous une forme distincte et servait de point de départ pour la déduction de toute une classe de propriétés des coniques. Cet art éminemment utile de déduire d'un seul principe un très-grand nombre de vérités constitue la supériorité de no» méthodes sur celles des géomètres anciens.
11 résulte de la courte Notice précédemment consacrée à l'hexagramme mystique (p. 6g), que depuis i64o jusqu'à 1806, c'est-à-dire depuis l'époque où le célèbre-
8o GÉOMKTRIE DE POSITION. — CHAPITRE VIII.
Tout autre rayon a^ passant par S| rencontre donc la courbe en un second point A. Quand on fait pivoter le rayon a^ autour deSi, le point A décrit la courbe, et il s^approclie inCniment du point S| lorsque le rayon ai s'approche infiniment de la tangente pf. La tangente rcprésenle donc la position limite de la droite qui joint
théorème a été découTert jusqu'à Hrianchon, aucun géomètre n'a cherché à profiter d'une propriété si féconde. Dans le siècle présent, au contraire, un grand nombre d« (géomètres éminents se sont occupés du théorème de Pascal. Il nous parait utile de signaler ici quelques-unes de leurs principales recherches.
L'attention des savants a été d'abord attirée sur ce sujet par Steixbm (Théorèmes tv V hexagrammum mrsticum, dans les Annales de Mathématiques pures et appUqtùn de Gbigonjce, t. XVIII, 1827-28, p. 339. — Théorèmes sur l'hexagrammum mrsticam, dans le Journal fur die reine und angewemdte MathematiA. Herausgegeben Ton A.-L. Crelle. Band 24, erstes Heft, p. 4o. — Sjrstematische EntwickeUutg, etc. Berlin, i833, pag. 3ii-3i2). Stei!«er a démontré que, six points d'une conique pourant donner lies à soixante hexagones distincts, les soixante droites de Pascal correspondantes m coupent trois à trois en vingt points G, appelés points de SrEiiiEa. Il a cm de plus que ces vingt points étaient distribués quatre à quatre sur cinq droites concourantes.
Plûcrer a signalé l'inexactitude de cette dernière conclusion et affirmé que les vingt points G sont situés quatre à quatre sur quinze droites ( Ueber ein neues Prineip dtr Géométrie und den Gebrauch allgemeiner Symbole und unbestûnmter CoëJ/ieienteUt dans le Journal de A.-L. Crelle, t. Y, i83o, pag. 275).
Hesse a repris ces recherches et trouvé que les vingt points de Steixbr sont conjugués deux à deux par rapport à la conique fondamentale des six points. Il a fait voir <|ue la figure de Steiner est identique à celle que forment trois triangles, perspectifs deux ïk deux par rapport à un même centre. Les neuf côtés des trois triangles, les trois droites qui concourent au centre commun et les trois droites de perspective rcpn'^sentont les quinze droites des vingt points G ( Ueber dos geradlinige Sechseck nuf dem Hyperboloid^ dans le Journal de A.-L. Crelle, t. XIV, i8ij2, p. 4o. — Einige Benierknngen zum Pascal'schen Theorem^ dans le Journal de A.-L. Crelle, t. XLl, i83f, p. 26g).
Caylet a repris la figure de Stei:<er et s'est préoccupe surtout de représenter les droites par des notations abrégées {^Sur quelques théorèmes de la Géométrie de position, dan^ \e Journal de A.-L. Crelle, t. XXXI, iSJô, p. 216, et t. XXXIV, 18^7, p. 272).
Grossma!!!! ( Ueber eine neue Eigenschaft der Steinerschen Gegenpunkte des PascaVschen Sechsechs, dans leyor/r/fa/deA.-L. Crelle, t. LVIII, 1861, p. 174-179) et Stacdt {Ueber die Steinerschen Gegenpunkte f welche durch zwei in eine Curve zweiter Ordnung^ beschriebene Dreiecke bestimmt sindy dans le Journal de A.-L. Crrlle, t. LXII, i863, p. 1 42-16 1) se sont aussi occupés des vingt points de Steihkr, en partant l'un et l'autre de la considération de deux triangles inscrits dans la conique.
KiRKMAïf a démontré que les soixante droites de Pascal, fournies par les soixante hexagones, non-seulement se coupent trois à trois aux vingt points G, mais se rencontrent encore trois à trois en soixante autres points, qu'on a nommés points de KiRRMAN. 11 a démontré en outre que ces soixante points sont alignés deux à deux sur quatre-vingt-dix droites, qui concourent respectivement avec deux des quinze droites fournies par les six points de la conique fondamentale ( On the complète hexagon
CONCEPTION DE LA TANGENTE ET OU POINT DE CONTACT. 8l
deux points de la courbe se rapprochant infiniment Tun de Tautre. Une définition aussi générale est applicable, non-seulement aux courbes du second ordre, mais à des courbes quelconques.
Le point Pi [fig* aa), par lequel passe un seul rayon Mj d'un faisceau K du second ordre, a reçu le nom de point de contact du faisceau sur le rayon U| . On a vu que chaque rayon du faisceau K contient un seul point de contact (64), tandis qu'un second rayon a du faisceau passe encore par tout autre point Âi de U] . Quand on fait mouvoir Aj sur i/|, a parcourt le faisceau K et s'approche infiniment du rayon ii| quand Â] devient infiniment voisin du point Pi . Le point de contact sur le faisceau de rayons représente donc la position limite du point d'intersection de deux rayons du faisceau qui vont se rapprochant infiniment l'un de l'autre.
Cela posé, si dans l'hexagone inscrit à une courbe du second ordre deux sommets quelconques se rapprochent infiniment l'un de l'autre, le côté qui les joint se trouvera remplacé par une tangente à la courbe. Et si, dans un hexagone dont les côtés sont
iiucribed in a conie section, dans le Cambridge and Dublin matkematical Journal, t. V, i85o, p. i85).
Salmon et Catlbt ont établi en même temps que les soiiante points de Kirkman reposent trois à trois sur vingt droites ( Sur quelques théorèmes de la Géométrie de position, dans le Journal de A.-L. Crellb, t. XLI, i85i, p. 66 et 8/|). — Salmox a démontré ensuite que ces vingt droites concourent quatre à quatre en quinze points, appelés points de Salmo:!, et que chacune d'elles passe par un seul point de Steiker {^A Treatise on conte sections, fifth éd., London, 1869, p. 234i 368, 289, 307, 36o, Sôa).
Dans un autre travail très-important [jénal/tische Géométrie der Ebene, Bemerkung (Journal de k.-L, Ceblle, t. LXVIII, 1868, p. 193)], Hbsse a signalé une certaine correspondance de réciprocité entre les soixante droites de Pascal et les soixante points deKiEKMAii; entre les vingt points de Steiner et les vingt droites indiquées parSALMON et Catlbt ; entre les quinze droites de Plûceer et les quinze points de Salmon ; mais il n'est pas arrivé à établir cette correspondance d'une manière complète.
Il convient de citer encore, à ce dernier point de vue, les travaux de Baur ( Ueber dos Pascatseke Theorem, dans les Abhandlungen der k, bayer, Akademie der ff'issen^ schaften, II Cl., t. III, 1874) et les recherches de Veeonesb {Nuovi teoremi suit hexa^ grammum mjrsticum, dans les Memorie délia classe di Scienze fisicke, matematiche e naturali délia Reale Accademia deiLincei, anno CCLXXI V (i 876-77), vol. I, Roma, 1 877).
Voir aussi : Chaslbs, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 7a et Note XIII. — WeissbnboR!*» Die Projection in der Ebene, Berlin, 1862, Vorrede, p. XI. — G. Sal- MOS, Traité de Géométrie analytique {sections coniques), traduit par H. Resal et V.Vauchbxbt. Paris, Gauthier-Villars, 1870, p. 34o, 53o. — Quarterljr journal of pure and applied âiathematics, t. IX, p. 3/|8. — Cbemoxa, Teoremi stereome triai dai quali si de~ dueono le proprietà dell'esagrammo di Pascal, dans les Atti délia JR. Accademia dei Uneei, Roma, 1877.
82 GÈOMÉTRIB DE POSITION. — CHAPITRE VlII.
des rayons d^un faisceau de second ordre, deux côtés voisins se rapprochent infiniment Fun de Tautre, le sommet sur lequel ils se coupent se trouvera remplacé par un point de contact du faisceau.
Suivant que un, deux ou trois couples d^éléments voisins coïncident, rhexagone se transforme en un pentagone, en un quadrangle ou en un triangle.
II. — Modification des théorèmes ponr le pentagone, le quadrangle
et le triangle. Problèmes.
79. Pour le pentagone, les théorèmes de Pascal et de Brianchon s^énoncent ainsi :
Dans tout pentagone inscrit à une courbe du second ordre, les points d'intersection de deux couples de c6' tés non consécutifs et le point d'inter^ section du cinquième côté et de la tangente au sommet opposé sont trois points situés sur une même droite.
Dans tout pentagone dont Us côtés sont des rayons d'un faisceau, du second ordre, les diagonales qui joignent deux couples de sommets non consécutifs et la droite qui Joint le cinquième sommet au point de contact du côté opposé sont trois droites qui se coupent en un même point.
Cette double proposition permet de résoudre les problèmes
suivants :
Étant donnés cinq points quelconques d'une courbe du second ordre, construire les tangentes en ces points en ne faisant usage que de la règle.
Étant donnés cinq rayons quelconques d'un faisceau du second ordre, construire les points de contact sur ces rayons en ne faisant usage que {le la règle.
