COURBE DONNÉE PAR DEUX PONCTUELLES PROJECTIVES

suffira, pour établir la relation projective, de se donner encore deux points correspondants, X et X|. En vertu du théorème relatif aux triangles inscrits et circonscrits (81), on trouvera le point de contact du rayon XX i, considéré comme variable, en menant par l'intersection des rayons X^ J et XI| une parallèle aux ponctuelles. Cette parallèle coupe lOi^ au point de contact cherché, et ce point est harmoniquement séparé des points X et X| par le point XX.^ . JI| . Le point de contact d'une tangente XX< est donc situé sur la droite à l'infini, lorsque la droite JI| coupe le segment XX< en son milieu, auquel cas le segment JI| est aussi coupé en son milieu par XX |.

Projetons les ponctuelles u et U|, du point M, milieu de Jli» Si les deux faisceaux concentriques de rayons ainsi déterminés présentent deux éléments unis, il y aura deux rayons XX| jouissant de la propriété de passer par le milieu de JI| ; par contre, aucun rayon ne satisfera à cette condition si les faisceaux n'ont pas d'éléments unis. Mais nous savons [iS) que la propriété d'avoir deux éléments unis appartient aux faisceaux de rayons projectifs opposés, et les faisceaux seront dans cette condition lorsque les ponctuelles u et U| seront projectives concordantes. Si, au contraire, les ponctuelles u et w^ étaient projectives opposées, les faisceaux de rayons seraient projectifs concordants; dans ce cas ils n'auraient pas d'éléments unis et aucun des rayons XX i ne passerait par M. Donc :

Deux ponctuelles dont les lieux sont parallèles engendrent une ellipse quand elles sont projectives opposées, et une hyperbole quand elles sont projectives concordantes.

Ce critérium en fournit un autre pour le cas où les ponctuelles ne sont pas parallèles.

Soient U et U^ [fig* 3i ) les points de contact sur u e\.Ux\ soient en outre J et J^ les points de u et de u^ qui correspondent respectivement aux points à l'infini. Par le point J on mène \^^ parallèle à U| et par le point J| on mène ^ parallèle à u. On obtient les points de contact V et \ x des nouvelles tangentes \^ et ^'|, enjoignant les points U et Xi^ au point de rencontre des diagonales du parallélogramme formé par les droites u, a,, v^, v^^.

Appliquons maintenant aux deux droites y^^j a,, considérées

gS GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE IX.

comme ponctuelles génératrices de la courbe^ le critérium que nous avons énoncé plus haut. Le point à Tinfini de ii| aura alors pour correspondant le point V| sur ^'^ , et vice versd, le point à Tin-

fini de i^i aura pour correspondant le point U| sur U|. Les droites i^ et ii joindront chacune deux points correspondants, et les deux ponctuelles situées sur ces droites seront concordantes, si les points ¥< et U| sont en dehors du parallélogramme uui w^ :

les points V et U seront aussi, dans ce cas, en dehors du même parallélogramme, puisque les droites U| U et V| V sont parallèles aux diagonales. Les deux ponctuelles seront, au contraire, opposées, si les points V|, U|, et par suite aussi les points V, U, sont sur le parallélogramme des quatre tangentes. Donc :

Deux ponctuelles projecti\fes, considérées en général, engendrent une ellipse lorsque les points de contact de leurs lieux sont situés sur les segments compris entre le point oà ces lûsux se coupent et les points ou chacun d'eux est coupé par la tangente parallèle à l'autre. La courbe engendrée est une hjperbole lorsque les points de contact sont en dehors des mêmes segments.

Il y a cependant un cas limite, qui constitue la transition de IVllipse à rhyperbole et vice versd : ce cas est celui où les points de contact sont situés sur les sommets du parallélogramme. Le point d'intersection des deux lieux correspond alors à lui-même et toute droite passant par ce point représente la ligne de jonction de deux points correspondants. Les ponctuelles sont d'ailleurs perspectives et il existe, comme nous le verrons bientôt (101 ), un second point par où passent collectivement les droites de jonction des points correspondants.

V. — Forme engendrée par le troisième côté d'un triangle dont deux côtés et les sommets sont assujettis à certaines conditions. — Cas particuliers.

100. Si les sommets d'un triangle se meurent sur trois droites dans un plan, de manière que deux côtés du triangle conservent