DISTINCTION BASÉE SUR LES SECTIONS PLANES D*UNE SURFACE CONIQUE

relatives au nombre de points qui peuvent être communs à une telle courbe et à la droite à Tinfini du plan dans lequel elle se trouve. Trois cas peuvent se présenter : il n'y a pas de points communs, ou il y a un seul point commun, ou enfin il y a deux points communs.

Dans le premier cas, tous les points delà courbe sont des points propres et toutes ses tangentes sont des rayons propres du plan ; la courbe prend alors le nom âî* ellipse.

Dans le deuxième cas, la courbe s'étend à l'infini suivant deux rameaux qui tendent vers le point où elle touche la droite à Tinfini ; elle prend alors le nom de pat^abole.

Dans le troisième cas, la courbe est formée de deux branches courbes, dont les doubles rameaux s'étendent vers les deux points à l'infini qui sont les points de jonction des deux branches entre elles ; la courbe prend alors le nom A^hjperbole,

L'hyperbole étant coupée par la droite à l'infini du plan, toutes ses tangentes sont des droites propres du plan. Tel est, en particulier, le cas des tangentes aux deux points à l'infini de la courbe ; ces tangentes prennent le nom à^ asymptotes ,

n. — Distinction basée sur les sections planes d*nne surface conique.

96. Nous pouvons encore obtenir les mêmes formes de courbes du second ordre en pratiquant des sections planes dans une surface conique quelconque du second ordre, dont le centre n'est *pas situé à l'infini.

Un plan Z, passant par le centre, n'a que ce point commun avec la surface conique, ou bien il touche cette surface suivant un rayon 5, ou bien enfin il la coupe suivant deux rayons p et q.

Dans le premier cas, tout plan Z|, parallèle à Z, rencontre tous les rayons de la surface conique en des points propres et coupe la surface conique elle-même suivant une ellipse.

Dans le deuxième cas, la courbe d'intersection est une parabole, puisque le rayon 5, parallèle à Z], est coupé par ce plan en un point à l'infini ; la droite d'intersection de Z| avec le plan tangent X est précisément la tangente à l'infini de la parabole.

Dans le troisième et dernier cas, la courbe d'intersection est

r)G GÉOMÉTRIE DE POSITION. — GHAPITEB IX.

considérées comme engendrées par deux faisceaux projeclifs de rayons, nous avons été conduits (97) à rechercher si ces faisceaux avaient ou n'avaient pas des rayons parallèles.

Le cas de la génération par deux ponctuelles projeclives ne comporte pas une solution aussi directe. En effet, la distinction des courbes du second ordre en ellipse, parabole et hyperbole, repose essentiellement sur les propriétés qui apparaissent lorsque, prenant ces courbes comme formes de points, on considère leurs intersections avec la droite à Tinfîni. Pour maintenir ici la même distinction, il faut considérer la courbe tout à la fois comme forme de points et comme forme de tangentes. Avant d'aller plus loin, et pour justifier cette remarque, nous devons faire observer qu'il n'est pas possible de classer les courbes du second ordre en se fondant sur une relation de dualité. Aucun point du plan ne possède, en effet, à l'exclusion des autres, des propriétés aussi caractéristiques que celles qui distinguent la droite à l'infini des autres droites du plan.

Le faisceau de rayons du second ordre enveloppe une ellipse, lorsque les points de contact situés sur ses éléments sont tous à distance finie. Le faisceau enveloppe une hyperbole, lorsque deux de ses rayons ont leurs points de contact respectifs sur la droite à l'infini.

11 nous reste à dire comment ces conditions peuvent être vérifiées immédiatement, d'après la positioa des deux ponctuelles projectives.

Représentons par u et U| les lieux de ces ponctuelles, par J le point de u qui correspond au point à l'infini de ai et par 1| le point de i^i qui correspond au point à l'infini de u. Les parallèles i't et V, menées par les points J et 1|, respectivement, aux droites ixi et Uy seront tangentes à la courbe, et les quatre droites u, ii|, i^y i^iy formeront un parallélogramme circonscrit. Mais on aurait pu remplacer u ou u^ par toute autre tangente à la courbe; d'où il suit que, dans l'ellipse comme dans l' hyperbole, les tangentes sont parallèles deux à deux.

Si les lieux des deux ponctuelles génératrices sont parallèles et se coupent conséquemment à l'infini, et si l'on représente par J et Ii les points qui correspondent à leur intersection, considérée successivement comme un point de u et comme un point de ii|, il