SOMME ET DIFFÉRENCE DE DROITES

Ces opérations portent en général sur des lignes droites. Aussi devra-t-on, quand il s'agira d'aires, de volumes, de forces ou d'autres grandeurs quelconques, représenter ces grandeurs par des lignes droites ou les réduire préalablement à des lignes droites.

Le calcul graphique enseigne les moyens d'opérer ces réductions, en sorte que les règles relatives à l'addition et à la soustraction des droites peuvent être généralisées et appliquées à toutes les quantités susceptibles d'être représentées par des droites (M.

sur VAusdehnungslehre : MÔBics ( Die Grassmann*sche Lehre i>on Punhtgrôssen und den davon abhàngcnden Grôssenformen dargestelU; Leipzig, 1847); Haskel (f'or/^xfi/i*^» ûber die complexen Zahten und ihre Funktionen ; Théorie der complexen Zahlen système ; Leipzig, 1867, p. 16-17 et i4o)> et Robert GRASSMAiiNf frère d'HERMAii!! {Die Forment lehre der Mathematik; Stettio, 1873).

GRAS8iiA!fN a appliqué V Ausdehnungslehre, non seulement aux Mathématiques proprement dites, mais aussi à l'ÉIectrodynamique et à la théorie de Ncwtoh sur.Ie mélange des couleurs. M. Pretek Ta appliquée récemment à la théorie des sensations {Eiemente der reinen Empjîndungslehre ; Leipzig, 1877).

La théorie de V Ausdehntwgsïehre (en français, théorie des quantités extensives)ne peut pas être clairement exposée en peu de mots, et nous doutons même qu'on en puisse acquérir une notion complète par le résumé qu'en a donné Grassmarn dans VArchiv der Mathematik und Ph/sih do Gruxert (Sechster Theil. Greifswald, i845, p. 337- 33o). On peut s'en faire une idée générale par les Cle/s algébriques de Caucbt, avec lesquelles la méthode de Grassmanr a beaucoup d'analogie (Voir Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XXXVI, p. 70-75, 1 29-1 36, 161-169; *• XXXVII, p. 38-45, 57-64, 109. Exercices d' Analyse et de Physique mathématique, t. IV; Paris, i847i p> 356-4oi). Cette analogie a du reste donné lieu, de la part de Grassmann, à une contestation de priorité (Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. XXXVIII, p. 744).

Une seconde édition de VAiudehnungslehre a été publiée tout récemment sous ce titre : Die Ausdehnungslehre i^on 184 4 oder die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Ztifeig der Mathematik, dargestellt und durch Anwendungen auf die ûbrigen Ztveige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre von Magnetismus und die Krystallonomie erlaùtert, Leipzig, Verlag von Otto Wigand, 1878.

Voir, pour plus de détails, Délia vita e degli scritti fisico-matematici di Ermanno Grassmann, per Antonio Favaro, etc., dans le Bullettino di biblittgrafia e di storia délie Scienze matematiche e fisiche, pubblicato da B. Boncompacni, t. XI; Roma,

(*) Dans son Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie anamorphique {Annales des Ponts et Chaussées, 3* série, i8/|6), M. Lalanne a mentionné l'Ouvrage publié par Pocchkt à la fin du siècle dernier. Cet Ouvrage, dont nous avons donné le titre et l'analyse dans notre Préface, traite des poids, des mesures et de leur conversion, et contient sous forme d'appendice une Arithmétique linéaire, qui enseigne « l'usage de la fi[;ure pour les quatre règles élémentaires, pour l'élévation au carré et pour l'extraction de la racine ».

8 CALCCL CEAPHIOCE. — CUAPIimB I.

5. Considérons un nombre quelconque de segments /(, /„ /^, . . . (Jig. 3) donnés en grandeur et en direction et distribués d^one

manière quelconque dans un plan.

Construisons, à partir d^un point jk^,^ — ^* — "^ quelconque, an contour polygonal

,' x^yA V» composé de segments respective-

ment équipoUents aux segments donnés, et disposés de telle façon » que Torigine de chacun d*eux coïncide avec Textrémité du précédent.

•1^ j .,• ]^';^ '**^ ^y^ Nous appellerons somme géomé-

\y v.x^^^^^^' ^ri^ue (*) ou résultante des s^-

ments proposés le segment qui a pour origine et pour extrémité Torigine et l'extrémité de ce contour polygonal.

La figure qui détermine la somme géométrique de tous les segments proposés donne aussi la somme partielle d'un nombre quelconque de ces segments, pourvu qu'ils soient consécutifs. Cette somme est représentée par la droite qui va de l'origine a l'extrémité du contour partiel correspondant aux segments considérés. Par exemple, la droite 2-5 représente la somme des segments /j, /^ et /,.

6. Si les segments à additionner sont tous parallèles, on porte,

(') Dans 11 no do nos précédentes publications {la Statica grafica nell insegna^^ mento tecnico super iore)^ nous avons cité comme remontant à 1828 un Mémoire de Warbbn qui traite de la somme géométrique des droites. Bellavitis {y^tei del Reale Istituto f^enetoj t. III, s. IV, p. a/|6) a contesté la date de i8a8 et affirmé que la publication de lYABREif est « postérieure à la découverte de la méthode des éqnipol- Icncos ». Nous regrettons d'avoir à confirmer l'exactitude de notre première assertion. Le Mémoire dont nous nous sommes autorisé a pour titre ^ Treatise ofehe geometriral représentation of the square roots of négative quantities, by the Rev. Johh Warrrn, follow and tutor of Jésus Collège; Cambridge, 1828, in-8<* de i54 pages. La définition do la somme géométrique et la figure qui s'y rapporte se trouvent au n* 3 du Chnp. 1. Nous avions vu cet Ouvrage, il y a quelques années, dans une bibliothèque étrangère. Nous devons à l'obligeance de M. de Sàint-Venart, membre de l'Institut do Franco, la communication plus récente qui nous a permis de vérifier le passage précité. Le Mémoire de Wakren est d'ailleurs cité par Chasles avec la date do i8a8 {Rapport sur les progrès de la Géométrie; Paris, 1870, p. 62). Nous nous étions trompé, k la vérité, en donnant ce Mémoire, imprimé à Cambridge, comme extrait du Cambridge Journal ; mais ceci n'altère en rien V exactitude de notre assertion.