SOMME ET DIFFÉRENCE DE DROITES

comme dans le cas précédent, les segments équipollents bout à bout à partir d'un point quelconque et en ayant égard aux signes. Ces nouveaux segments appartiennent évidemment à une même droite, et la portion de cette droite comprise entre Torigine du premier d'entre eux et l'extrémité du dernier représente la somme géométrique cherchée. Cette somme ou résultante des segments proposés n'est autre, en pareil cas, que leur somme algébrique.

Nous devons dire ici quelques mots des notations au moyen desquelles on indique sur une droite les limites et le sens des segments à additionner.

On peut considérer une droite, soit comme une forme de points op ponctuelle, soit comme le lieu d'une suite de segments.

Dans le premier c^s {Jig. 4)9 ^ î^^îcation conventionnelle ne présente aucune ambiguïté si chacun des points à considérer est affecté '^* ^'

d'un indice d'ordre ; mais, dans le ^ ? î T ^

second cas, il devient nécessaire

d'indiquer avec précision les points de séparation des segments

consécutifs.

Si tous les segments sont de même sens, on pourra placer simplement au-dessus de chacun d'eux le numéro d'ordre qui le distingue (/i^'. 5).

Si l'on a à considérer une série ^^* *^*

continue de segments dirigés dans i « « ? a ?» y

un même sens, immédiatement suivie d'une autre série de segments dirigés en sens contraire, c'està-dire si le changement de direction n'a lieu qu'une seule fois, on aura recours au même moyen, en ayant soin, toutefois, de placer les indices d'ordre au-dessus ou au- ^. ^

Fig. G.

dessous de la droite, selon qu'ils

se rapporteront à des segments de ♦ i.......^ e y.... .s ,

Tune ou de l'autre série. Tel est >.-s,wg -Je g... ...i.... 5....I...»...J

le cas de IsiJig.G, dans laquelle, le

changement de sens étant au point séparatif des segments 3 et 4) 1^

somme des six segments est indiquée par S1-.6.

Enfin, si les segments de directions opposées, au lieu d'être en deux séries continues, se présentent dans un ordre de succession quelconque, il sera nécessaire d'affecter du même indice les deux

lO CALCUL GRAPHIQUE. — CHAPITRE I.

extrémités de chaque segment, en ayant toujours soin d'ailleurs de placer les indices de part ou d^autre de la droite, selon qu^ils se rapportent à des segments de Tune ou de l'autre direction

{.fig- 7)'

7. Un contour polygonal fermé, plan ou gauche, se projette sur

un plan quelconque suivant un autre contour fermé ; en d'autres termes,

®"J — J — f— ' J ' ^ la somme de ses projections est

nulle comme la somme de ses côtés.

On voit immédiatement que, si le contour polygonal proposé n'est pas fermé, la résultante de ses côtés se projette sur le plan suivant la résultante de leurs projections.

Gela posé, pour effectuer graphiquement Taddition des segments qui ont des directions quelconques dans l'espace, on devra se donner les projections de ces segments sur deux plans coordonnés. Les résultantes de ces projections seront les projections de la somme géométrique des segments proposés. On pourra donc déterminer graphiquement cette somme.

8. La somme d'un nombre quelconque de segments est indépendante de l'ordre dans lequel on les additionne.

Nous voyons d'abord que cette somme ne change pas quand on substitue l'un à l'autre deux segments consécutifs quelconques, par exemple /» et /e [Jig» 3); car les nouveaux segments, l\ et l\, équipoUents aux premiers, forment avec ceux-ci un parallélogramme et aboutissent par conséquent au même point 6. On pourra d'ailleurs opérer successivement la substitution entre If et /s, puis entre /| et l^y puis entre 1% et /s; on aura ainsi finalement remplacé l'un par l'autre deux segments non consécutifs quelconques, 1% et /s, sans que la somme des segments proposés ait subi aucune altération.

9. Si la ligne polygonale se ferme exactement et si les flèches de tous les segments qui la composent sont dirigées dans le même sens du contour, la somme ou résultante de ces segments est nulle.

Si les segments qui forment un contour polygonal fermé sont

SOMME ET DIFFÉRENCE DE DROITES. I f

dirigés, les uns dans un sens, les autres dans le sens opposé, la somme des premiers est égale à ceUe des seconds.

Pour établir ce résultat graphiquement, on construit, à partir de Torigine du contour total proposé, deux contours distincts, respectivement formés de segments

équipollents aux segments de Tun ^ « y

des systèmes et à ceux du système ^^"'^'^^^ i * \^

opposé. Ces deux nouveaux con- / 7- \ \

tours aboutissent à une extrémité *•/ .-'^^ ) /Î"'""T7

commune, et les sommes eéomé- /.-'' /A ti'4, /,

triques partielles des segments qui \ "" " -^- ..;^^':^ •• /

les composent sont représentées par ^/X , \^»*^»j/f

un seul et même segment. Tel est, --»— — ..^y^

par exemple , le cas du contour

1-2-3-4-5-6-7-8 {Jig* 8), dans lequel les segments A, /,, U et 1%

ont même somme que les segments U, /s, U et /g.

10. La soustraction est l'opération inverse de l'addition. Dès lors, si d'un segment ou de la somme de plusieurs segments on veut soustraire d'autres segments, il suffira de renverser les flèches de ceux-ci et de les additionner ensuite avec les premiers. On retranchera, par exemple {fig* 3), les segments /2 et l^ de la somme /i 4- 4 -4- /a -h /4 -H 4 -h /e en formant la somme

dans laquelle l"^ = l^y T^ = Iq.

L'ordre de composition étant sans influence sur le résultat (8), cette somme est identique à la suivante,

mais les sommes partielles 4-/2 4- ( — /J) et -H /c -t- ( — /g) sont nulles. Le résultat de la soustraction est donc représenté par la somme géométrique des segments /|, /s, Ij^ et 4.

11. Tout ce que nous avons exposé relativement à l'addition et à la soustraction des segments qui ont même position et même direction s'applique aux opérations analogues eflectuées, sur un arc

circulaire, entre des portions d'arcs circulaires de même rayon. La même application peut, par conséquent, être faite aux angles dans le plan.

Mais ce qui a été dit de l'addition dans Tespace ou dans le plan n'est applicable ni à Taddition des grands cercles sur la sphère, ni par conséquent aux rotations dans Tespace.

En effet, la sphère ne contenant pas de grands cercles parallèles, on ne peut pas effectuer sur elle les déplacements parallèles au moyen desquels les additions de lignes sont exécutées.