RÉSOLUTION DE // ÉQUATIONS DU PRESIIER DIGRÉ A H INCONNUES. 'JI

157. On peut superposer les droites u tt v i\e telle manière que les origines O et P se confondent. Les points correspondants A et B, qui ëtaicnt, avant le déplacement, sur le rayon du faisceau S parallèle à la droite OP, coïncident après le déplacement et constituent un clément uni AB des deux |)onctuellcs. On construira cet élément, si l'on connaît deux points correspondants quelconques Ui, Vf, en divisant la distance UiVi dans le rapport de similitude. La distance m du point AB à l'origine OP, exprimée en fonction des distances des points correspondants Ui et V| a la même origine, est d'ailleurs donnée par la relation

qu'on obtient en faisant

dans la relation (2] du n^ 155.

158. Nous pouvons exposer maintenant les méthodes dites de fausse position géométrique, proposées pour résoudre un système d'équations du premier d(^ré à plusieurs inconnues.

Considérons d'abord un système de n équations du premier degré de la forme

Supposons que x soit remplacé par x' dans la dernière équation, et attribuons à Xy dans la première, une valeur arbitraire Xf, à laquelle correspondront des valeurs déterminées des variables ^,2, . . . , f , j:'. Pour que ^' fût une racine des équations proposées, il faudrait que cette valeur rendit la dernière équation identique, c'est-à-dire qu'on eût x' = or, .

Cela posé, considérons les variables x^ y-yZ, ...,«', x' comme représentant respectivement les distances d'une suite de points X,y, Z, . . . , V,X', mobiles sur une droite, à un point fixe de cette droite. La première équation assujettit les points X et Y à décrire deux ponctuelles superposées semblables (156); la deuxième établit la même condition [)our les points mobiles Y et Z, . . . , et ainsi de suite jus^|u'à la dernière, qui exprime que les points V et X' décrivent aussi sur la droite considérée deux ponctuelles semblables. La première et la dernière ponctuelle de cette suite, décrites respectivement par les points X et X', sont évidemment semblables, et l'on voit immédiatement que leur point uni, satisfaisant à

2'i8 CALCLL GRAPHIQUE. — APPENDICK DU TRADUCTEUR AU CHAPITRE VI.

la condition x'=r X|, fournira la racine x des équations proposées. Il ny aura qu'un seul point uni à distance finie, le second étant, par suite de la similitude, le point à l'infini de la droite.

La résolution des équations proposées se réduit donc à construire le point uni de deux ponctuelles semblables superposées.

Soient a et b' les valeurs de .r qu'on déduit de la dernière équation, quand on attribue successivement à x les valeurs a ei h dans la première. On porte sur une droite [fig» 108), à partir d'un point O pris pour origine, et en tenant compte des signes, des segments OA, OB, 0A% OB',

Fig. 108.

respectivement égaux à «, b^ a\ b\ Le point uni M à déterminer devant satisfaire à la condition générale de similitude, on a

AM MB

A'M MB' """^^•'

d'où l'on tire